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8. 如图，将长方形 $ ABCD $ 的一角折叠，以 $ CE $(点 $ E $ 在 $ AB $ 上，不与点 $ A $，$ B $ 重合)为折痕，得到 $ ∠ CB'E $，连结 $ AB' $。设 $ ∠ DCB' $，$ ∠ AB'E $ 的度数分别为 $ α $，$ β $，若 $ AB' // EC $，则 $ α $，$ β $ 之间的关系是(
A.$ β = 2α $
B.$ β = 45° + \frac{α}{2} $
C.$ β = 45° + α $
D.$ β = 90° - α $
B
)A.$ β = 2α $
B.$ β = 45° + \frac{α}{2} $
C.$ β = 45° + α $
D.$ β = 90° - α $
答案
8.B
解析
【分析】
本题需要结合长方形、折叠和平行线的性质来推导α与β的关系。首先，根据长方形的内角为90°，结合∠DCB'=α，可求出∠B'CB的度数；再利用折叠的对称性，得到∠B'CE的表达式；接着由AB'//EC的平行线性质，得到∠AB'C与∠B'CE相等；最后根据∠CB'E=90°，建立∠AB'E（即β）与∠AB'C的等式，整理后即可得到α和β的关系。
【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是长方形，所以$∠ DCB = ∠ B = 90°$。
2. 已知$∠ DCB' = α$，则$∠ B'CB = ∠ DCB - ∠ DCB' = 90° - α$。
3. 由折叠的性质可知：$∠ BCE = ∠ B'CE$，$∠ CB'E = ∠ B = 90°$，因此：
$∠ B'CE = \frac{1}{2}∠ B'CB = \frac{1}{2}(90° - α) = 45° - \frac{α}{2}$。
4. 因为$AB' // EC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AB'C = ∠ B'CE = 45° - \frac{α}{2}$。
5. 又因为$∠ CB'E = 90°$，即$∠ AB'E + ∠ AB'C = 90°$，将$∠ AB'E = β$，$∠ AB'C = 45° - \frac{α}{2}$代入得：
$β + 45° - \frac{α}{2} = 90°$
整理得：$β = 45° + \frac{α}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；长方形的性质
【点评】
本题综合考查了长方形、折叠和平行线的性质，解题核心是通过折叠对称性和平行线的角的关系，建立α与β的等量方程，需要学生熟练掌握几何图形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.5
本题需要结合长方形、折叠和平行线的性质来推导α与β的关系。首先，根据长方形的内角为90°，结合∠DCB'=α，可求出∠B'CB的度数；再利用折叠的对称性，得到∠B'CE的表达式；接着由AB'//EC的平行线性质，得到∠AB'C与∠B'CE相等；最后根据∠CB'E=90°，建立∠AB'E（即β）与∠AB'C的等式，整理后即可得到α和β的关系。
【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是长方形，所以$∠ DCB = ∠ B = 90°$。
2. 已知$∠ DCB' = α$，则$∠ B'CB = ∠ DCB - ∠ DCB' = 90° - α$。
3. 由折叠的性质可知：$∠ BCE = ∠ B'CE$，$∠ CB'E = ∠ B = 90°$，因此：
$∠ B'CE = \frac{1}{2}∠ B'CB = \frac{1}{2}(90° - α) = 45° - \frac{α}{2}$。
4. 因为$AB' // EC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AB'C = ∠ B'CE = 45° - \frac{α}{2}$。
5. 又因为$∠ CB'E = 90°$，即$∠ AB'E + ∠ AB'C = 90°$，将$∠ AB'E = β$，$∠ AB'C = 45° - \frac{α}{2}$代入得：
$β + 45° - \frac{α}{2} = 90°$
整理得：$β = 45° + \frac{α}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；长方形的性质
【点评】
本题综合考查了长方形、折叠和平行线的性质，解题核心是通过折叠对称性和平行线的角的关系，建立α与β的等量方程，需要学生熟练掌握几何图形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.5
9. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，$ AB $ 和 $ CD $ 是五线谱上的两条线段，点 $ E $ 在 $ AB $，$ CD $ 之间的一条平行线上，若 $ ∠ 1 = 120° $，$ ∠ 2 = 30° $，则 $ ∠ BEC $ 的度数是
$90°$
。答案
9. $90°$
解析
【分析】
首先观察到五线谱的线段互相平行，即$AB// CD$，要求$∠BEC$的度数，可通过作辅助线将其分解为两个可利用平行线性质计算的角。具体思路为：过点$E$作一条平行于$AB$的直线$EF$，根据平行线的传递性，$EF$也平行于$CD$；然后利用“两直线平行，同旁内角互补”求出$∠BEF$的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”求出$∠CEF$的度数，最后将两个角相加即可得到$∠BEC$的度数。
【解析】
过点$E$作$EF// AB$，
因为五线谱的五根线互相平行，所以$AB// CD$，
根据平行线的传递性，可得$EF// CD$。
1. 计算$∠BEF$：
因为$AB// EF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以$∠1 + ∠BEF = 180°$，
已知$∠1 = 120°$，则$∠BEF = 180° - 120° = 60°$。
2. 计算$∠CEF$：
因为$EF// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，
所以$∠CEF = ∠2 = 30°$。
3. 计算$∠BEC$：
$∠BEC = ∠BEF + ∠CEF = 60° + 30° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造平行线
【点评】
本题结合生活中的五线谱场景考查平行线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线将所求角转化为与已知角相关的角，灵活运用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质进行角度计算，培养了学生利用几何知识解决实际场景问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先观察到五线谱的线段互相平行，即$AB// CD$，要求$∠BEC$的度数，可通过作辅助线将其分解为两个可利用平行线性质计算的角。具体思路为：过点$E$作一条平行于$AB$的直线$EF$，根据平行线的传递性，$EF$也平行于$CD$；然后利用“两直线平行，同旁内角互补”求出$∠BEF$的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”求出$∠CEF$的度数，最后将两个角相加即可得到$∠BEC$的度数。
【解析】
过点$E$作$EF// AB$，
因为五线谱的五根线互相平行，所以$AB// CD$，
根据平行线的传递性，可得$EF// CD$。
1. 计算$∠BEF$：
因为$AB// EF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以$∠1 + ∠BEF = 180°$，
已知$∠1 = 120°$，则$∠BEF = 180° - 120° = 60°$。
2. 计算$∠CEF$：
因为$EF// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，
所以$∠CEF = ∠2 = 30°$。
3. 计算$∠BEC$：
$∠BEC = ∠BEF + ∠CEF = 60° + 30° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造平行线
【点评】
本题结合生活中的五线谱场景考查平行线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线将所求角转化为与已知角相关的角，灵活运用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质进行角度计算，培养了学生利用几何知识解决实际场景问题的能力。
【难度系数】
0.6
10. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）。
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。图 1 是一个“互”字，图 2 是由图 1 抽象出的几何图形，其中 $ AB // CD $，点 $ E $，$ M $，$ F $ 在同一条直线上，点 $ G $，$ N $，$ H $ 在同一条直线上，且 $ ∠ AEF = ∠ GHD $，$ MG // FN $。请说明 $ ∠ EFN = ∠ G $ 的理由。
证明：如图 2，延长 $ EF $ 交 $ CD $ 于点 $ P $。
因为 $ AB // CD $（已知），
所以 $ ∠ AEF = ∠ EPD $（
又因为 $ ∠ AEF = ∠ GHD $（
所以 $ ∠ EPD = $
所以 $ EP // GH $（
所以 $ ∠ EFN + $
又因为
所以 $ ∠ FNG + ∠ G = 180° $（
所以 $ ∠ EFN = ∠ G $（
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。图 1 是一个“互”字，图 2 是由图 1 抽象出的几何图形，其中 $ AB // CD $，点 $ E $，$ M $，$ F $ 在同一条直线上，点 $ G $，$ N $，$ H $ 在同一条直线上，且 $ ∠ AEF = ∠ GHD $，$ MG // FN $。请说明 $ ∠ EFN = ∠ G $ 的理由。
证明：如图 2，延长 $ EF $ 交 $ CD $ 于点 $ P $。
因为 $ AB // CD $（已知），
所以 $ ∠ AEF = ∠ EPD $（
两直线平行，内错角相等
）。又因为 $ ∠ AEF = ∠ GHD $（
已知
），所以 $ ∠ EPD = $
$∠ GHD$
(等量代换)。所以 $ EP // GH $（
同位角相等，两直线平行
）。所以 $ ∠ EFN + $
$∠ FNG$
$ = 180° $(两直线平行，同旁内角互补)。又因为
$MG// FN$
(已知)，所以 $ ∠ FNG + ∠ G = 180° $（
两直线平行，同旁内角互补
）。所以 $ ∠ EFN = ∠ G $（
同角的补角相等
）。答案
10.解：如图2，延长$EF$交$CD$于点$P$。
因为$AB// CD$（已知），
所以$∠ AEF=∠ EPD$（两直线平行，内错角相等）。又因为$∠ AEF=∠ GHD$（已知），
所以$∠ EPD=∠ GHD$（等量代换）。
所以$EP// GH$（同位角相等，两直线平行）。
所以$∠ EFN+∠ FNG = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为$MG// FN$（已知），
所以$∠ FNG+∠ G = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
所以$∠ EFN=∠ G$（同角的补角相等）。
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；$∠ GHD$；同位角相等，两直线平行；$∠ FNG$；$MG// FN$；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等。
解析
【分析】
要证明$∠ EFN = ∠ G$，我们可以通过平行线的性质与判定逐步推导角的关系：
1. 首先利用已知的$AB // CD$，结合辅助线延长$EF$交$CD$于点$P$，根据平行线的性质得到内错角相等；
2. 结合已知$∠ AEF = ∠ GHD$，通过等量代换得到同位角相等，进而判定新的平行线；
3. 利用平行线的性质得到两组同旁内角互补；
4. 最后根据同角的补角相等，得出要证明的结论。
【解析】
如图2，延长$EF$交$CD$于点$P$。
因为$AB// CD$（已知），
所以$∠ AEF=∠ EPD$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$∠ AEF=∠ GHD$（已知），
所以$∠ EPD=∠ GHD$（等量代换）。
所以$EP// GH$（同位角相等，两直线平行）。
所以$∠ EFN+∠ FNG = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为$MG// FN$（已知），
所以$∠ FNG+∠ G = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
所以$∠ EFN=∠ G$（同角的补角相等）。
【答案】
两直线平行，内错角相等；已知；$∠ GHD$；同位角相等，两直线平行；$∠ FNG$；$MG// FN$；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等。
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 同角的补角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是通过辅助线构建角的关系桥梁，熟练运用平行线的相关定理进行角的转化，理清角之间的等量和互补关系。
【难度系数】
0.6
要证明$∠ EFN = ∠ G$，我们可以通过平行线的性质与判定逐步推导角的关系：
1. 首先利用已知的$AB // CD$，结合辅助线延长$EF$交$CD$于点$P$，根据平行线的性质得到内错角相等；
2. 结合已知$∠ AEF = ∠ GHD$，通过等量代换得到同位角相等，进而判定新的平行线；
3. 利用平行线的性质得到两组同旁内角互补；
4. 最后根据同角的补角相等，得出要证明的结论。
【解析】
如图2，延长$EF$交$CD$于点$P$。
因为$AB// CD$（已知），
所以$∠ AEF=∠ EPD$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$∠ AEF=∠ GHD$（已知），
所以$∠ EPD=∠ GHD$（等量代换）。
所以$EP// GH$（同位角相等，两直线平行）。
所以$∠ EFN+∠ FNG = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为$MG// FN$（已知），
所以$∠ FNG+∠ G = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
所以$∠ EFN=∠ G$（同角的补角相等）。
【答案】
两直线平行，内错角相等；已知；$∠ GHD$；同位角相等，两直线平行；$∠ FNG$；$MG// FN$；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等。
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 同角的补角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是通过辅助线构建角的关系桥梁，熟练运用平行线的相关定理进行角的转化，理清角之间的等量和互补关系。
【难度系数】
0.6
11. （1）如图 1，$ AC $ 平分 $ ∠ DAB $，$ ∠ 1 = ∠ 2 $，$ AB $ 与 $ CD $ 有怎样的位置关系，请说明理由。
（2）如图 2，在（1）的结论下，$ AB $ 的下方两点 $ E $，$ F $ 满足 $ BF $ 平分 $ ∠ ABE $，$ DF $ 平分 $ ∠ CDE $。若 $ ∠ DFB = 20° $，$ ∠ CDE = 70° $，求 $ ∠ ABE $ 的度数。
（2）如图 2，在（1）的结论下，$ AB $ 的下方两点 $ E $，$ F $ 满足 $ BF $ 平分 $ ∠ ABE $，$ DF $ 平分 $ ∠ CDE $。若 $ ∠ DFB = 20° $，$ ∠ CDE = 70° $，求 $ ∠ ABE $ 的度数。
答案
11.解：(1)$AB// CD$。理由如下:
因为$AC$平分$∠ DAB$，所以$∠ 1=∠ CAB$。
又$∠ 1=∠ 2$，所以$∠ 2=∠ CAB$，所以$AB// CD$。
(2)过$F$作$FM// CD$（点$M$在点$F$右侧）（图略），
又$CD// AB$，所以$FM// CD// AB$。
因为$∠ CDE = 70°$，$DF$平分$∠ CDE$，
所以$∠ CDF = 35°$。
因为$CD// FM$，所以$∠ CDF=∠ DFM = 35°$。
又$∠ DFB = 20°$，所以$∠ BFM = 15°$。
因为$AB// FM$，
所以$∠ ABF=∠ BFM = 15°$。
又$BF$平分$∠ ABE$，
所以$∠ ABE = 30°$。
因为$AC$平分$∠ DAB$，所以$∠ 1=∠ CAB$。
又$∠ 1=∠ 2$，所以$∠ 2=∠ CAB$，所以$AB// CD$。
(2)过$F$作$FM// CD$（点$M$在点$F$右侧）（图略），
又$CD// AB$，所以$FM// CD// AB$。
因为$∠ CDE = 70°$，$DF$平分$∠ CDE$，
所以$∠ CDF = 35°$。
因为$CD// FM$，所以$∠ CDF=∠ DFM = 35°$。
又$∠ DFB = 20°$，所以$∠ BFM = 15°$。
因为$AB// FM$，
所以$∠ ABF=∠ BFM = 15°$。
又$BF$平分$∠ ABE$，
所以$∠ ABE = 30°$。
解析
【分析】
(1) 要判断AB与CD的位置关系，可根据平行线的判定定理分析。已知AC平分∠DAB，可得∠1=∠CAB，结合已知∠1=∠2，可推出内错角∠2=∠CAB，根据“内错角相等，两直线平行”即可判定AB//CD。
(2) 已知AB//CD，要求∠ABE的度数，先利用角平分线的定义求出∠CDF的度数；通过过点F作FM//CD，结合平行线的传递性得到FM//AB，再根据平行线的性质，将角进行转化，结合∠DFB的度数求出∠ABF，最后利用BF平分∠ABE的性质，即可求出∠ABE的度数。
【解析】
(1) $AB// CD$。理由如下:
因为$AC$平分$∠ DAB$，所以$∠ 1=∠ CAB$。
又$∠ 1=∠ 2$，所以$∠ 2=∠ CAB$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
(2) 过$F$作$FM// CD$（点$M$在点$F$右侧），
由(1)知$CD// AB$，根据平行线的传递性，所以$FM// CD// AB$。
因为$∠ CDE = 70°$，$DF$平分$∠ CDE$，
所以$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDE=\frac{1}{2}×70°=35°$。
因为$CD// FM$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ CDF=∠ DFM = 35°$。
又$∠ DFB = 20°$，所以$∠ BFM=∠ DFM - ∠ DFB=35°-20°=15°$。
因为$AB// FM$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ ABF=∠ BFM = 15°$。
又$BF$平分$∠ ABE$，所以$∠ ABE=2∠ ABF=2×15°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB// CD}$；(2) $\boldsymbol{∠ABE=30°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，第一问通过角的等量转化利用内错角相等判定平行，第二问通过作辅助线构造平行线，将角的关系进行转化，需要学生熟练掌握相关定理，理清角之间的数量关系，是一道基础的几何综合题。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断AB与CD的位置关系，可根据平行线的判定定理分析。已知AC平分∠DAB，可得∠1=∠CAB，结合已知∠1=∠2，可推出内错角∠2=∠CAB，根据“内错角相等，两直线平行”即可判定AB//CD。
(2) 已知AB//CD，要求∠ABE的度数，先利用角平分线的定义求出∠CDF的度数；通过过点F作FM//CD，结合平行线的传递性得到FM//AB，再根据平行线的性质，将角进行转化，结合∠DFB的度数求出∠ABF，最后利用BF平分∠ABE的性质，即可求出∠ABE的度数。
【解析】
(1) $AB// CD$。理由如下:
因为$AC$平分$∠ DAB$，所以$∠ 1=∠ CAB$。
又$∠ 1=∠ 2$，所以$∠ 2=∠ CAB$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
(2) 过$F$作$FM// CD$（点$M$在点$F$右侧），
由(1)知$CD// AB$，根据平行线的传递性，所以$FM// CD// AB$。
因为$∠ CDE = 70°$，$DF$平分$∠ CDE$，
所以$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDE=\frac{1}{2}×70°=35°$。
因为$CD// FM$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ CDF=∠ DFM = 35°$。
又$∠ DFB = 20°$，所以$∠ BFM=∠ DFM - ∠ DFB=35°-20°=15°$。
因为$AB// FM$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ ABF=∠ BFM = 15°$。
又$BF$平分$∠ ABE$，所以$∠ ABE=2∠ ABF=2×15°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB// CD}$；(2) $\boldsymbol{∠ABE=30°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，第一问通过角的等量转化利用内错角相等判定平行，第二问通过作辅助线构造平行线，将角的关系进行转化，需要学生熟练掌握相关定理，理清角之间的数量关系，是一道基础的几何综合题。
【难度系数】
0.6
