例 1 已知一组数据 $ 5,x,8,10,9 $ 的众数是 $ 8 $，那么这组数据的方差是()

A.$ 14 $
B.$ 8 $
C.$ 2.8 $
D.$ 1.2 $

C

已知众数是$8$，则$x = 8$。
这组数据为$5, 8, 8, 10, 9$，其平均数为：
$\bar{x} = \frac{5 + 8 + 8 + 10 + 9}{5} = 8$
方差计算公式为：
$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
代入数据计算：
$s^2 = \frac{(5-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (10-8)^2 + (9-8)^2}{5} = \frac{9 + 0 + 0 + 4 + 1}{5} = \frac{14}{5} = 2.8$

变式训练 一组数据 $ 2,0,1,x,3 $ 的平均数是 $ 2 $，则这组数据的方差是()
A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 1 $
D.$ 3 $

A

首先根据平均数的定义，求出未知数$x$。
已知数据$ 2,0,1,x,3 $的平均数是$2$，即：
$\frac{2 + 0 + 1 + x + 3}{5} = 2$，
$\6 + x = 10$，
$x = 4$，
然后，利用方差的公式计算方差。
方差的公式为：
$s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i} - \bar{x})^{2}$，
其中，$n$是数据的数量，$x_{i}$是每一个数据，$\bar{x}$是平均数。
将已知的数据和平均数代入方差公式，得到：
$s^{2} = \frac{1}{5} × [ (2 - 2)^{2} + (0 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} + (4 - 2)^{2} + (3 - 2)^{2} ]$
$= \frac{1}{5} × [ 0 + 4 + 1 + 4 + 1 ]$
$= \frac{1}{5} × 10$
$= 2$

例 2 小李几年前回乡承包了甲、乙两座荒山，各栽 $ 100 $ 棵枇杷树，现已结果，经济效益初步显现。为了分析收成情况，他分别从两山上各随机采摘了 $ 4 $ 棵树上的枇杷，每棵的产量如图所示。

（1）分别计算甲、乙两座山样本枇杷树产量的平均数；
（2）试通过计算说明，哪座山上的枇杷产量较稳定。

（1）甲山样本平均数：$\overline{x}_{甲}=\frac{50+36+40+34}{4}=40$（kg）
乙山样本平均数：$\overline{x}_{乙}=\frac{36+40+48+36}{4}=40$（kg）
（2）甲山样本方差：
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{4}[(50-40)^{2}+(36-40)^{2}+(40-40)^{2}+(34-40)^{2}]$
$=\frac{1}{4}[100+16+0+36]=38$
乙山样本方差：
$s^{2}_{乙}=\frac{1}{4}[(36-40)^{2}+(40-40)^{2}+(48-40)^{2}+(36-40)^{2}]$
$=\frac{1}{4}[16+0+64+16]=24$
$\because s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$，$\therefore$乙山上的枇杷产量较稳定。

变式训练 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团表演了同一部舞剧，参加表演的女演员的身高（单位：$ cm $）分别是：

（1）两个芭蕾舞团参加表演的女演员的平均身高分别是多少？
（2）哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？

【解析】：（1）甲团平均身高：$\frac{163+164+164+165+165+166+166+167}{8}=\frac{1320}{8}=165(cm)$；乙团平均身高：$\frac{163+165+165+166+166+167+168+168}{8}=\frac{1328}{8}=166(cm)$。（2）甲团方差：$\frac{(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2+0^2+0^2+1^2+1^2+2^2}{8}=\frac{12}{8}=1.5$；乙团方差：$\frac{(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2+0^2+0^2+1^2+2^2+2^2}{8}=\frac{20}{8}=2.5$。因为$1.5＜2.5$，所以甲团更整齐。
【答案】：（1）甲团165cm，乙团166cm；（2）甲团

（1）甲团平均身高：$\frac{163+164+164+165+165+166+166+167}{8}=\frac{1320}{8}=165(cm)$；乙团平均身高：$\frac{163+165+165+166+166+167+168+168}{8}=\frac{1328}{8}=166(cm)$。（2）甲团方差：$\frac{(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2+0^2+0^2+1^2+1^2+2^2}{8}=\frac{12}{8}=1.5$；乙团方差：$\frac{(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2+0^2+0^2+1^2+2^2+2^2}{8}=\frac{20}{8}=2.5$。因为$1.5＜2.5$，所以甲团更整齐。

1. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行 $ 20 $ 次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是 $ s^{2}_{甲} = 2.5 $，$ s^{2}_{乙} = 1.3 $，$ s^{2}_{丙} = 1.8 $，$ s^{2}_{丁} = 0.8 $，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是()

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

D

方差是用来衡量一组数据波动大小的指标，方差越小，表明数据分布越集中，各数据偏离平均数越小，即数据的稳定性越好。题目中四名运动员的方差分别为 $s^{2}_{甲} = 2.5$，$s^{2}_{乙} = 1.3$，$s^{2}_{丙} = 1.8$，$s^{2}_{丁} = 0.8$，比较可得丁的方差最小，因此丁的成绩最稳定。

2. 某排球队 $ 6 $ 名场上队员的身高(单位：$ cm $)是：$ 180,184,188,190,192,194 $。现用一名身高为 $ 186 cm $ 的队员换下场上身高为 $ 192 cm $ 的队员，与换人前相比，场上队员的身高()

A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大

A

首先计算换人前的平均身高，设原身高数据为$180,184,188,190,192,194$。
原平均身高为：
$\bar{x}_{\mathrm{原}} = \frac{180 + 184 + 188 + 190 + 192 + 194}{6} = \frac{1128}{6} = 188 \text(cm)$。
换人后的平均身高，新队员身高为$186cm$，替换下$192cm$的队员，新身高数据为$180,184,188,190,186,194$。
新平均身高为：
$\bar{x}_{\mathrm{新}} = \frac{180 + 184 + 188 + 190 + 186 + 194}{6} = \frac{1122}{6} = 187 \text(cm)$。
平均数变小。
计算换人前的方差：
$s^2_{\mathrm{原}} = \frac{(180-188)^2 + (184-188)^2 + (188-188)^2 + (190-188)^2 + (192-188)^2 + (194-188)^2}{6} = \frac{64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36}{6} = \frac{136}{6} \approx 22.67$，
换人后的方差：
$s^2_{\mathrm{新}} = \frac{(180-187)^2 + (184-187)^2 + (188-187)^2 + (190-187)^2 + (186-187)^2 + (194-187)^2}{6} = \frac{49 + 9 + 1 + 9 + 1 + 49}{6} = \frac{118+1+1}{6} \approx 19.67$，
由于$19.67 ＜ 22.67$，因此方差也变小。
综上所述，答案为A。

3. 已知一组数据 $ 1,1,x,3,3 $ 的平均数是 $ 2 $，则这组数据的方差是。

0.8（或$\frac{4}{5}$，按题目要求格式）

因为数据的平均数是2，故$\frac{1+1+x+3+3}{5}=2$，解得$x=2$。
计算方差：
$\frac{(1-2)^2+(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2+(3-2)^2}{5}$
$=\frac{1+1+0+1+1}{5}$
$=\frac{4}{5}=0.8$。