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1. (综合与实践)【问题情境】
某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
【操作探究】
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒,如图(1)所示的四个图形中,哪个图形经过折叠能围成无盖的正方体纸盒? ( )
(2)图(2)是小明的设计图,把它折成无盖正方体纸盒后,与“保”字相对的字是______(字在盒外).
(3)如图(3)所示,有一张边长为 20 cm 的正方形废弃宣传单,小华准备将其四角各剪去一个小正方形,折成无盖的长方体纸盒.
①请你在图(3)中画出示意图,用实线表示剪切痕迹,虚线表示折痕;
②若四角各剪去了一个边长为 $ x $ cm($ x ＜ 10 $)的小正方形,用含 $ x $ 的代数式表示这个纸盒的底面周长为______cm;
③当四角剪去的小正方形的边长为 4 cm 时,请写出纸盒的容积.
某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
【操作探究】
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒,如图(1)所示的四个图形中,哪个图形经过折叠能围成无盖的正方体纸盒? ( )
(2)图(2)是小明的设计图,把它折成无盖正方体纸盒后,与“保”字相对的字是______(字在盒外).
(3)如图(3)所示,有一张边长为 20 cm 的正方形废弃宣传单,小华准备将其四角各剪去一个小正方形,折成无盖的长方体纸盒.
①请你在图(3)中画出示意图,用实线表示剪切痕迹,虚线表示折痕;
②若四角各剪去了一个边长为 $ x $ cm($ x ＜ 10 $)的小正方形,用含 $ x $ 的代数式表示这个纸盒的底面周长为______cm;
③当四角剪去的小正方形的边长为 4 cm 时,请写出纸盒的容积.
答案
1.解:
(1)C
(2)卫
(3)①所画出的图形如图所示:
②4(20 - 2x)
③因为折叠后的长方体的高为x cm，
所以体积为$(20 - 2x)^{2}x cm^3$。
当x = 4时，
$(20 - 2x)^{2}x$
$=(20 - 2×4)^{2}×4$
$=576(cm^3)$。
答:当小正方形边长为4 cm时，纸盒的容积为576 cm³。
解析
【分析】
(1)解决该问需明确无盖正方体纸盒展开图共有5个面，折叠后5个面不能重叠且刚好组成无盖正方体，逐一判断各选项是否符合即可。
(2)正方体展开图中，相对的面不存在公共边、公共顶点，且相对面之间间隔1个正方形，据此找到与“保”字相对的面即可。
(3)①要制作无盖长方体纸盒，需在大正方形的四个角各剪去1个大小相同的小正方形，小正方形的边为剪切实线，剩余部分向内折的痕迹为虚线。②剪去小正方形后，纸盒底面是边长为(20-2x)cm的正方形，根据正方形周长公式即可列出代数式。③纸盒的高为剪去的小正方形的边长x，结合长方体容积=底面积×高，先写出容积的代数式，再代入x=4计算即可。
【解析】
(1)无盖正方体纸盒由5个正方形面组成，逐一分析选项：
A选项折叠后存在面重叠，无法围成无盖正方体；
B选项折叠后面数不足，无法围成无盖正方体；
C选项折叠后刚好组成5个面的无盖正方体，符合要求；
D选项折叠后有面重叠，不符合要求。
故选C。
(2)正方体展开图中相对面不相邻，且间隔1个正方形，观察展开图可得，与“保”字相对的字是“卫”。
(3)①在边长为20cm的正方形四个角处，各绘制1个边长为x的小正方形，小正方形的四条边为实线（剪切痕迹），剩余部分对应折边画虚线即可。
②折成的纸盒底面是正方形，边长为(20-2x)cm，正方形周长=4×边长，因此底面周长为$4(20-2x)$cm。
③长方体纸盒的高为剪去的小正方形的边长x，底面是边长为(20-2x)的正方形，因此容积为底面积×高，即$(20-2x)^2 · x$。
当x=4时，代入得：
$(20-2×4)^2 ×4$
$=(20-8)^2 ×4$
$=12^2 ×4$
$=144×4$
$=576(cm^3)$
【答案】
(1)C
(2)卫
(3)①
②$4(20 - 2x)$
③$576\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
正方体展开图、列代数式、长方体容积计算
【点评】
本题结合环保实践情境出题，既考查了立体图形展开与折叠的空间想象能力，也考查了代数式应用和体积计算的能力，注重知识的实际应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1)解决该问需明确无盖正方体纸盒展开图共有5个面，折叠后5个面不能重叠且刚好组成无盖正方体，逐一判断各选项是否符合即可。
(2)正方体展开图中，相对的面不存在公共边、公共顶点，且相对面之间间隔1个正方形，据此找到与“保”字相对的面即可。
(3)①要制作无盖长方体纸盒，需在大正方形的四个角各剪去1个大小相同的小正方形，小正方形的边为剪切实线，剩余部分向内折的痕迹为虚线。②剪去小正方形后，纸盒底面是边长为(20-2x)cm的正方形，根据正方形周长公式即可列出代数式。③纸盒的高为剪去的小正方形的边长x，结合长方体容积=底面积×高，先写出容积的代数式，再代入x=4计算即可。
【解析】
(1)无盖正方体纸盒由5个正方形面组成，逐一分析选项：
A选项折叠后存在面重叠，无法围成无盖正方体；
B选项折叠后面数不足，无法围成无盖正方体；
C选项折叠后刚好组成5个面的无盖正方体，符合要求；
D选项折叠后有面重叠，不符合要求。
故选C。
(2)正方体展开图中相对面不相邻，且间隔1个正方形，观察展开图可得，与“保”字相对的字是“卫”。
(3)①在边长为20cm的正方形四个角处，各绘制1个边长为x的小正方形，小正方形的四条边为实线（剪切痕迹），剩余部分对应折边画虚线即可。
②折成的纸盒底面是正方形，边长为(20-2x)cm，正方形周长=4×边长，因此底面周长为$4(20-2x)$cm。
③长方体纸盒的高为剪去的小正方形的边长x，底面是边长为(20-2x)的正方形，因此容积为底面积×高，即$(20-2x)^2 · x$。
当x=4时，代入得：
$(20-2×4)^2 ×4$
$=(20-8)^2 ×4$
$=12^2 ×4$
$=144×4$
$=576(cm^3)$
【答案】
(1)C
(2)卫
(3)①
②$4(20 - 2x)$
③$576\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
正方体展开图、列代数式、长方体容积计算
【点评】
本题结合环保实践情境出题，既考查了立体图形展开与折叠的空间想象能力，也考查了代数式应用和体积计算的能力，注重知识的实际应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
2. 在正方体的八个顶点处各写一个数,使每个顶点处的数等于与这个顶点连接的三条棱上另外三个顶点处的数之和. 例如,图(1)中,与点 $ A $ 连接的三条棱上的另外三个顶点处,分别写有 1,2,3,那么点 $ A $ 处的数等于 $ 1 + 2 + 3 = 6 $. 请根据这个规则,解答图(2)中的问题:
(1)①若点 $ A,C,E $ 处分别写有 2,-5,0,则点 $ F $ 处的数等于______;
②若点 $ A,B,C $ 处分别写有 3,4,7,则点 $ D $ 处的数等于______.
(2)若点 $ A,C,D $ 处分别写有 2 024,1,23,则点 $ E $ 处的数等于多少?
(3)顶点 $ D,F $ 处的数之间具有什么数量关系?
(1)①若点 $ A,C,E $ 处分别写有 2,-5,0,则点 $ F $ 处的数等于______;
②若点 $ A,B,C $ 处分别写有 3,4,7,则点 $ D $ 处的数等于______.
(2)若点 $ A,C,D $ 处分别写有 2 024,1,23,则点 $ E $ 处的数等于多少?
(3)顶点 $ D,F $ 处的数之间具有什么数量关系?答案
2.解:
(1)① - 3 ② - 6
(2)如图所示:
设点E,F,G,H处写的数分别为e,f,g,h，
由题意，得e = h + g + f，①
h = 2024 + 23 + e，②
g = e + 23 + 1，③
f = 2024 + 1 + e，④
所以② + ③ + ④，得
h + g + f = 2×2024 + 2×23 + 1×2 + 3e，
所以e = 2×2024 + 2×23 + 1×2 + 3e，
解得e = - 2048。
所以点E处的数为 - 2048。
(3)顶点D,F处的数相加和为0。
理由:
设点A,B,C,D,E,F,G,H处的数分别为a,b,c,d,e,f,g,h，由题意，得d = b + h + g，①
b = a + d + c，②
h = a + e + d，③
g = c + d + e，④
f = e + a + c，⑤
把②③④代入①，得
d = a + d + c + a + e + d + c + d + e，
所以d = 2a + 3d + 2e + 2c。
所以2a + 2d + 2e + 2c = 0。
所以a + d + e + c = 0。
所以d + f = 0。
所以顶点D,F处的数相加和为0。
解析
【分析】
解题核心是理解规则：每个顶点处的数等于和该顶点相连的三个顶点处的数之和。首先需要准确识别每个顶点对应的三个相邻顶点，再根据规则列代数式或方程，通过代入消元、等式变形求解：
(1)①点F的相邻顶点为A、C、E，直接按规则求和即可得F处的数；
(1)②点B的相邻顶点为A、C、D，根据规则变形即可求出D处的数；
(2)设出未知顶点对应的数，根据规则列等式，将三个含e的等式相加后代入关于e的等式，解一元一次方程即可得E处的数；
(3)设所有顶点对应的数为未知数，根据规则列等式，通过代入消元、合并同类项变形，即可推导得到D、F的数量关系。
【解析】
(1)①根据规则，点F的数等于相邻三个顶点A、C、E的数之和，代入数值计算：$F = A+C+E = 2+(-5)+0=-3$。
②根据规则，点B的数等于相邻三个顶点A、C、D的数之和，即$B = A+C+D$，变形得$D = B-A-C$，代入数值计算：$D = 4-3-7=-6$。
(2)
设点E、F、G、H处的数分别为$e、f、g、h$，根据题意列等式：
$e = h + g + f$ ①
$h = 2024 + 23 + e$ ②
$g = e + 23 + 1$ ③
$f = 2024 + 1 + e$ ④
将②③④三个等式左右两边分别相加，得：
$h+g+f = (2024+23+e)+(e+23+1)+(2024+1+e)$
整理右边得：$h+g+f = 2×2024 + 2×23 + 2×1 + 3e$
将上式代入①，得：$e = 4048 + 46 + 2 + 3e$
移项合并同类项得：$-2e = 4096$
解得：$e = -2048$。
(3)顶点D、F处的数之和为0，推导如下：
设点A、B、C、D、E、F、G、H处的数分别为$a、b、c、d、e、f、g、h$，根据题意列等式：
$d = b + g + h$ ①
$b = a + d + c$ ②
$h = a + e + d$ ③
$g = c + d + e$ ④
$f = a + c + e$ ⑤
将②③④代入①，得：
$d = (a+d+c) + (a+e+d) + (c+d+e)$
整理右边得：$d = 2a + 2c + 2e + 3d$
移项得：$2a + 2c + 2e + 2d = 0$，两边同时除以2得$a + c + e + d = 0$
结合⑤式$f = a + c + e$，代入得$d + f = 0$，即D、F处的数之和为0。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{-3}$；②$\boldsymbol{-6}$
(2)点E处的数为$\boldsymbol{-2048}$
(3)顶点D、F处的数相加和为0，即$\boldsymbol{D+F=0}$
【知识点】
列代数式、一元一次方程的应用、等式的性质
【点评】
本题结合正方体的结构特征考查新定义规则的应用，解题关键是准确对应每个顶点的相邻顶点，再根据规则列式计算或推导，能够有效考查信息提取能力、逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
解题核心是理解规则：每个顶点处的数等于和该顶点相连的三个顶点处的数之和。首先需要准确识别每个顶点对应的三个相邻顶点，再根据规则列代数式或方程，通过代入消元、等式变形求解：
(1)①点F的相邻顶点为A、C、E，直接按规则求和即可得F处的数；
(1)②点B的相邻顶点为A、C、D，根据规则变形即可求出D处的数；
(2)设出未知顶点对应的数，根据规则列等式，将三个含e的等式相加后代入关于e的等式，解一元一次方程即可得E处的数；
(3)设所有顶点对应的数为未知数，根据规则列等式，通过代入消元、合并同类项变形，即可推导得到D、F的数量关系。
【解析】
(1)①根据规则，点F的数等于相邻三个顶点A、C、E的数之和，代入数值计算：$F = A+C+E = 2+(-5)+0=-3$。
②根据规则，点B的数等于相邻三个顶点A、C、D的数之和，即$B = A+C+D$，变形得$D = B-A-C$，代入数值计算：$D = 4-3-7=-6$。
(2)
设点E、F、G、H处的数分别为$e、f、g、h$，根据题意列等式：
$e = h + g + f$ ①
$h = 2024 + 23 + e$ ②
$g = e + 23 + 1$ ③
$f = 2024 + 1 + e$ ④
将②③④三个等式左右两边分别相加，得：
$h+g+f = (2024+23+e)+(e+23+1)+(2024+1+e)$
整理右边得：$h+g+f = 2×2024 + 2×23 + 2×1 + 3e$
将上式代入①，得：$e = 4048 + 46 + 2 + 3e$
移项合并同类项得：$-2e = 4096$
解得：$e = -2048$。
(3)顶点D、F处的数之和为0，推导如下：
设点A、B、C、D、E、F、G、H处的数分别为$a、b、c、d、e、f、g、h$，根据题意列等式：
$d = b + g + h$ ①
$b = a + d + c$ ②
$h = a + e + d$ ③
$g = c + d + e$ ④
$f = a + c + e$ ⑤
将②③④代入①，得：
$d = (a+d+c) + (a+e+d) + (c+d+e)$
整理右边得：$d = 2a + 2c + 2e + 3d$
移项得：$2a + 2c + 2e + 2d = 0$，两边同时除以2得$a + c + e + d = 0$
结合⑤式$f = a + c + e$，代入得$d + f = 0$，即D、F处的数之和为0。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{-3}$；②$\boldsymbol{-6}$
(2)点E处的数为$\boldsymbol{-2048}$
(3)顶点D、F处的数相加和为0，即$\boldsymbol{D+F=0}$
【知识点】
列代数式、一元一次方程的应用、等式的性质
【点评】
本题结合正方体的结构特征考查新定义规则的应用，解题关键是准确对应每个顶点的相邻顶点，再根据规则列式计算或推导，能够有效考查信息提取能力、逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
