2. 阅读下面材料:利用折纸可以作出角平分线.
(1)如图(1)所示,若 $ \angle AOB = 58^{\circ} $,求 $ \angle BOC $ 的大小.
(2)折叠长方形纸片, $ OC $, $ OD $ 均是折痕,折叠后,点 $ A $ 落在点 $ A' $,点 $ B $ 落在点 $ B' $,连接 $ OA' $.
①如图(2)所示,当点 $ B' $ 在 $ OA' $ 上时,求 $ \angle COD $ 的大小;

②如图(3)所示,当点 $ B' $ 在 $ \angle COA' $ 的内部时,若 $ \angle AOC = 44^{\circ} $, $ \angle BOD = 61^{\circ} $,求 $ \angle A'OB' $ 的度数.

2.解:
(1)由折叠知,∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB,因为∠AOB=58°,所以∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×58°=29°.
(2)①由折叠知,∠AOC=∠A'OC,所以∠AOA'=2∠AOC.由折叠知,∠BOD=∠B'OD,所以∠BOB'=2∠BOD.因为点B'落在OA'上,所以∠AOA'+∠BOB'=180°.所以2∠AOC+2∠BOD=180°.所以∠AOC+∠BOD=90°,即∠COD=90°.②由折叠知,∠AOA'=2∠AOC,∠BOB'=2∠BOD.因为∠AOC=44°,∠BOD=61°,所以∠AOA'=2∠AOC=2×44°=88°,∠BOB'=2∠BOD=2×61°=122°.所以∠A'OB'=∠AOA'+∠BOB'-180°=88°+122°-180°=30°,即∠A'OB'=30°.

【分析】
本题的解题核心是利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，折痕可看作对应角的角平分线，再结合角的和差、平角的性质求解。
(1) 由折叠可知OC是∠AOB的角平分线，直接根据角平分线的定义计算∠BOC即可。
(2) ① 首先根据折叠性质可得∠AOC=∠A'OC，∠BOD=∠B'OD，当点B'落在OA'上时，∠AOA'与∠BOB'的和恰好是平角∠AOB=180°，代入等量关系化简即可求出∠COD的度数。
② 先根据折叠性质分别求出∠AOA'和∠BOB'的度数，由于两个角的和大于平角180°，重叠部分就是所求的∠A'OB'，因此用∠AOA'与∠BOB'的和减去180°即可得到结果。
【解析】
(1) 由折叠知，$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，因为$∠ AOB=58°$，所以$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×58°=29°$。
(2) ① 由折叠知，$∠ AOC=∠ A'OC$，所以$∠ AOA'=2∠ AOC$。由折叠知，$∠ BOD=∠ B'OD$，所以$∠ BOB'=2∠ BOD$。因为点$B'$落在$OA'$上，所以$∠ AOA'+∠ BOB'=180°$。所以$2∠ AOC+2∠ BOD=180°$，即$∠ AOC+∠ BOD=90°$，因此$∠ COD=90°$。
② 由折叠知，$∠ AOA'=2∠ AOC$，$∠ BOB'=2∠ BOD$。因为$∠ AOC=44°$，$∠ BOD=61°$，所以$∠ AOA'=2×44°=88°$，$∠ BOB'=2×61°=122°$。所以$∠ A'OB'=∠ AOA'+∠ BOB'-180°=88°+122°-180°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{29°}$；(2) ① $\boldsymbol{90°}$；② $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
折叠的性质、角平分线的定义、角度和差计算
【点评】
本题属于角的计算的培优题型，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，梳理清楚各角之间的位置关系，结合平角的特征进行运算即可求解。
【难度系数】
0.6