1. (综合与探究)(2025·合肥)点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点,将一直角三角板 $ OMN $ 的直角顶点放在 $ O $ 处,射线 $ OC $ 平分 $ \angle MOB $.
(1)如图(1)所示,若 $ \angle AOM = 36^{\circ} $,求 $ \angle CON $ 的度数.
(2)将图(1)中的直角三角板 $ OMN $ 绕顶点 $ O $ 顺时针旋转至图(2)的位置,一边 $ OM $ 在直线 $ AB $ 上方,另一边 $ ON $ 在直线 $ AB $ 下方.
①探究 $ \angle AOM $ 和 $ \angle CON $ 的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由;
②当 $ \angle AOC = 5\angle BON $ 时,求 $ \angle AOM $ 的度数.

1.解:
(1)由已知得∠BOM=180°-∠AOM=144°,又∠MON是直角,OC平分∠BOM,所以∠CON=∠MON-$\frac{1}{2}$∠BOM=90°-$\frac{1}{2}$×144°=18°.
(2)①∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOM.理由如下:设∠AOM=α,则∠BOM=180°-α,因为OC平分∠BOM,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠BOM=$\frac{1}{2}$(180°-α)=90°-$\frac{1}{2}$α.因为∠MON=90°,所以∠CON=∠MON-∠MOC=90°-(90°-$\frac{1}{2}$α)=$\frac{1}{2}$α.所以∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOM.②由①知∠BON=∠MON-∠BOM=90°-(180°-α)=α-90°,∠AOC=∠AOM+∠MOC=α+90°-$\frac{1}{2}$α=90°+$\frac{1}{2}$α.因为∠AOC=5∠BON,所以90°+$\frac{1}{2}$α=5(α-90°).解得α=120°.所以∠AOM=120°.

【分析】
(1) 首先利用直线上平角为180°的性质，由已知∠AOM求出∠BOM的度数；再根据角平分线的定义求出∠MOC的度数；最后结合直角三角板∠MON=90°，通过角的差运算即可求得∠CON的度数。
(2) ①设∠AOM为参数，先表示出∠BOM，再利用角平分线定义得到∠MOC的表达式，结合∠MON为90°，推导∠CON与∠AOM的数量关系即可。
②先将∠BON、∠AOC用含∠AOM的式子表示，再根据题干给出的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 解：
∵点O在直线AB上，
∴$∠ AOM+∠ BOM=180°$
已知$∠ AOM=36°$，则$∠ BOM=180°-36°=144°$
∵OC平分$∠ BOM$，
∴$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOM=\frac{1}{2}×144°=72°$
∵直角三角板OMN中$∠ MON=90°$
∴$∠ CON=∠ MON-∠ MOC=90°-72°=18°$
(2) ①结论：$∠ CON=\frac{1}{2}∠ AOM$，理由如下：
设$∠ AOM=α$，则$∠ BOM=180°-α$
∵OC平分$∠ BOM$，
∴$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOM=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$
∵$∠ MON=90°$
∴$∠ CON=∠ MON-∠ MOC=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$
即$∠ CON=\frac{1}{2}∠ AOM$
②解：设$∠ AOM=α$
则$∠ BON=∠ MON-∠ BOM=90°-(180°-α)=α-90°$
$∠ AOC=∠ AOM+∠ MOC=α+90°-\frac{1}{2}α=90°+\frac{1}{2}α$
根据题意$∠ AOC=5∠ BON$，代入得：
$90°+\frac{1}{2}α=5(α-90°)$
去括号得：$90°+\frac{1}{2}α=5α-450°$
移项合并同类项得：$\frac{9}{2}α=540°$
解得$α=120°$，即$∠ AOM=120°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{18°}$
(2) ① $\boldsymbol{∠ CON=\dfrac{1}{2}∠ AOM}$；② $\boldsymbol{120°}$
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题是角的动态变换类综合题，将角的基础性质、运算和方程思想相结合，需要准确梳理角与角之间的数量关系，是角相关知识点的典型培优题型，能够有效锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6