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1. 把一个多项式化成
几个整式的积
的形式，叫作因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。答案
1. 几个整式的积
解析
【解析】
根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解。
【答案】
几个整式的积
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基础概念，属于识记类题目，准确掌握该定义是学习因式分解相关知识的前提。
【难度系数】
0.9
根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解。
【答案】
几个整式的积
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基础概念，属于识记类题目，准确掌握该定义是学习因式分解相关知识的前提。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式从左往右的变形中，是因式分解的有
①$3abc^{2}=3c· abc$；
②$x(x - 2y)=x^{2}-2xy$；
③$m^{2}-m - 5=(m - 2)(m - 1)-3$；
④$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$；
⑤$x^{2}+2+(\frac{1}{x})^{2}=(x+\frac{1}{x})^{2}$。
④
。(填序号)①$3abc^{2}=3c· abc$；
②$x(x - 2y)=x^{2}-2xy$；
③$m^{2}-m - 5=(m - 2)(m - 1)-3$；
④$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$；
⑤$x^{2}+2+(\frac{1}{x})^{2}=(x+\frac{1}{x})^{2}$。
答案
2. ④
解析
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。逐一分析：
①左边是单项式，因式分解的对象是多项式，故不是因式分解；
②是整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，故不是因式分解；
③右边不是整式的积的形式，故不是因式分解；
④将多项式$x^2 - 9$化为了两个整式$(x+3)$与$(x-3)$的积，符合因式分解的定义，故是因式分解；
⑤右边的$x+\frac{1}{x}$不是整式（分母含有字母），不符合因式分解的要求，故不是因式分解。
因此只有④是因式分解。
【答案】
④
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，需明确因式分解的两个核心要点：一是分解对象为多项式，二是结果必须是几个整式的积的形式，要注意区分整式乘法与因式分解，同时避免将非整式的变形误判为因式分解。
【难度系数】
0.7
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。逐一分析：
①左边是单项式，因式分解的对象是多项式，故不是因式分解；
②是整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，故不是因式分解；
③右边不是整式的积的形式，故不是因式分解；
④将多项式$x^2 - 9$化为了两个整式$(x+3)$与$(x-3)$的积，符合因式分解的定义，故是因式分解；
⑤右边的$x+\frac{1}{x}$不是整式（分母含有字母），不符合因式分解的要求，故不是因式分解。
因此只有④是因式分解。
【答案】
④
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，需明确因式分解的两个核心要点：一是分解对象为多项式，二是结果必须是几个整式的积的形式，要注意区分整式乘法与因式分解，同时避免将非整式的变形误判为因式分解。
【难度系数】
0.7
3. 计算：$(2a - 1)(2a + 1)=$
$4a^{2}-1$
。由此可知多项式$4a^{2}-1$可以因式分解为(2a - 1)(2a + 1)
。答案
3. $4a^{2}-1$ $(2a - 1)(2a + 1)$
解析
【解析】
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将$2a$看作整体，可得：
$(2a - 1)(2a + 1)=(2a)^2 - 1^2=4a^2 - 1$；
因式分解是整式乘法的逆运算，因此多项式$4a^2 - 1$可因式分解为$(2a - 1)(2a + 1)$。
【答案】
$4a^{2}-1$；$(2a - 1)(2a + 1)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的正向与逆向应用，明确整式乘法与因式分解的互逆关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将$2a$看作整体，可得：
$(2a - 1)(2a + 1)=(2a)^2 - 1^2=4a^2 - 1$；
因式分解是整式乘法的逆运算，因此多项式$4a^2 - 1$可因式分解为$(2a - 1)(2a + 1)$。
【答案】
$4a^{2}-1$；$(2a - 1)(2a + 1)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的正向与逆向应用，明确整式乘法与因式分解的互逆关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
4. 若$x^{2}-6x + m=(x - 3)^{2}$，则$m=$
9
。答案
4. 9
解析
【解析】
先将等式右边利用完全平方公式展开：$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$。
因为$x^2 - 6x + m = x^2 - 6x + 9$，根据多项式相等时对应项系数相等，可得$m = 9$。
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式、多项式恒等条件
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用及多项式相等的性质，需熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过对应项对比求出未知参数。
【难度系数】
0.9
先将等式右边利用完全平方公式展开：$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$。
因为$x^2 - 6x + m = x^2 - 6x + 9$，根据多项式相等时对应项系数相等，可得$m = 9$。
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式、多项式恒等条件
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用及多项式相等的性质，需熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过对应项对比求出未知参数。
【难度系数】
0.9
5. 若多项式$ax + A$可分解为$a(x + y)$，则$A$表示的代数式是
$ay$
。答案
5. $ay$
解析
【解析】
根据乘法分配律，将$a(x + y)$展开可得：$a(x + y)=ax+ay$。
已知多项式$ax + A$可分解为$a(x + y)$，即$ax + A=ax+ay$，对比等式两边的项，可得$A=ay$。
【答案】
$ay$
【知识点】
乘法分配律，因式分解与整式乘法互逆
【点评】
本题主要考查乘法分配律的逆用以及因式分解与整式乘法的互逆关系，难度较低，需熟练掌握整式乘法与因式分解的转化。
【难度系数】
0.9
根据乘法分配律，将$a(x + y)$展开可得：$a(x + y)=ax+ay$。
已知多项式$ax + A$可分解为$a(x + y)$，即$ax + A=ax+ay$，对比等式两边的项，可得$A=ay$。
【答案】
$ay$
【知识点】
乘法分配律，因式分解与整式乘法互逆
【点评】
本题主要考查乘法分配律的逆用以及因式分解与整式乘法的互逆关系，难度较低，需熟练掌握整式乘法与因式分解的转化。
【难度系数】
0.9
6. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(
A.$3x + 2x - 1=5x - 1$
B.$(3a + 2b)(3a - 2b)=9a^{2}-4b^{2}$
C.$x^{2}+x=x^{2}(1+\frac{1}{x})$
D.$2x^{2}-8y^{2}=2(x + 2y)(x - 2y)$
D
)A.$3x + 2x - 1=5x - 1$
B.$(3a + 2b)(3a - 2b)=9a^{2}-4b^{2}$
C.$x^{2}+x=x^{2}(1+\frac{1}{x})$
D.$2x^{2}-8y^{2}=2(x + 2y)(x - 2y)$
答案
6. D
解析
【解析】
根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），对各选项分析如下：
选项A：$3x + 2x - 1=5x - 1$是整式加减运算，结果不是整式的积的形式，不是因式分解；
选项B：$(3a + 2b)(3a - 2b)=9a^{2}-4b^{2}$是整式乘法运算，与因式分解过程相反，不是因式分解；
选项C：$x^{2}+x=x^{2}(1+\frac{1}{x})$的结果中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式的积的形式，不是因式分解；
选项D：$2x^{2}-8y^{2}=2(x + 2y)(x - 2y)$将多项式化为了几个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法、平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的定义，需准确把握因式分解的本质是将多项式转化为整式乘积的形式，同时要注意区分因式分解与整式乘法，以及结果需为整式的积，不能含分式。
【难度系数】
0.8
根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），对各选项分析如下：
选项A：$3x + 2x - 1=5x - 1$是整式加减运算，结果不是整式的积的形式，不是因式分解；
选项B：$(3a + 2b)(3a - 2b)=9a^{2}-4b^{2}$是整式乘法运算，与因式分解过程相反，不是因式分解；
选项C：$x^{2}+x=x^{2}(1+\frac{1}{x})$的结果中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式的积的形式，不是因式分解；
选项D：$2x^{2}-8y^{2}=2(x + 2y)(x - 2y)$将多项式化为了几个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法、平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的定义，需准确把握因式分解的本质是将多项式转化为整式乘积的形式，同时要注意区分因式分解与整式乘法，以及结果需为整式的积，不能含分式。
【难度系数】
0.8
7. 因式分解$x^{2}-2x - 3$的结果是(
A.$(x + 1)(x + 3)$
B.$(x - 1)(x - 3)$
C.$(x + 1)(x - 3)$
D.$(x - 1)(x + 3)$
C
)A.$(x + 1)(x + 3)$
B.$(x - 1)(x - 3)$
C.$(x + 1)(x - 3)$
D.$(x - 1)(x + 3)$
答案
7. C
解析
【解析】
使用十字相乘法因式分解：对于二次三项式$x^2+bx+c$，寻找两个数$m$、$n$，使得$m+n=b$，$mn=c$。在$x^2-2x-3$中，$b=-2$，$c=-3$，可得$m=1$，$n=-3$，满足$1+(-3)=-2$，$1×(-3)=-3$，因此$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$。
【答案】
C
【知识点】
十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，重点考查十字相乘法的应用，属于基础题型，需熟练掌握十字相乘法中系数的拆分技巧。
【难度系数】
0.8
使用十字相乘法因式分解：对于二次三项式$x^2+bx+c$，寻找两个数$m$、$n$，使得$m+n=b$，$mn=c$。在$x^2-2x-3$中，$b=-2$，$c=-3$，可得$m=1$，$n=-3$，满足$1+(-3)=-2$，$1×(-3)=-3$，因此$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$。
【答案】
C
【知识点】
十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，重点考查十字相乘法的应用，属于基础题型，需熟练掌握十字相乘法中系数的拆分技巧。
【难度系数】
0.8
