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10. 已知$x^2 - 2(k + 3)x + 16$是完全平方式，则常数$k$的值为(
A.1
B.$-7$
C.$\pm4$
D.1 或$-7$
D
)A.1
B.$-7$
C.$\pm4$
D.1 或$-7$
答案
10. D
解析
【解析】
完全平方式的一般形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知$x^2 - 2(k + 3)x + 16$是完全平方式，其中$a=x$，$b^2=16$，则$b=\pm4$。
根据一次项系数对应关系可得：
$-2(k+3)=\pm8$
①当$-2(k+3)=8$时，解得$k=-7$；
②当$-2(k+3)=-8$时，解得$k=1$。
因此常数$k$的值为1或$-7$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方式的性质，解题关键是掌握完全平方式的两种形式，避免漏解其中一种情况。
【难度系数】
0.6
完全平方式的一般形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知$x^2 - 2(k + 3)x + 16$是完全平方式，其中$a=x$，$b^2=16$，则$b=\pm4$。
根据一次项系数对应关系可得：
$-2(k+3)=\pm8$
①当$-2(k+3)=8$时，解得$k=-7$；
②当$-2(k+3)=-8$时，解得$k=1$。
因此常数$k$的值为1或$-7$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方式的性质，解题关键是掌握完全平方式的两种形式，避免漏解其中一种情况。
【难度系数】
0.6
11. 如果$(\frac{1}{3}m - y)^2 = \frac{1}{9}m^2 + \frac{1}{5}mx + \frac{1}{16}$，则$x$，$y$的值分别为(
A.$-\frac{5}{6}$，$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{6}$，$-\frac{1}{4}$
B.$-\frac{5}{6}$，$\frac{1}{4}$
C.$\frac{5}{6}$，$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{5}{6}$，$\frac{1}{4}$
A
)A.$-\frac{5}{6}$，$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{6}$，$-\frac{1}{4}$
B.$-\frac{5}{6}$，$\frac{1}{4}$
C.$\frac{5}{6}$，$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{5}{6}$，$\frac{1}{4}$
答案
11. A
解析
【解析】
根据完全平方公式展开等式左边：
$(\frac{1}{3}m - y)^2 = (\frac{1}{3}m)^2 - 2·\frac{1}{3}m· y + y^2 = \frac{1}{9}m^2 - \frac{2y}{3}m + y^2$
与等式右边$\frac{1}{9}m^2 + \frac{1}{5}mx + \frac{1}{16}$对应项系数相等：
1. 常数项：$y^2 = \frac{1}{16}$，解得$y = \pm\frac{1}{4}$；
2. 一次项系数：$-\frac{2y}{3} = \frac{1}{5}x$。
当$y = \frac{1}{4}$时，代入得$-\frac{2×\frac{1}{4}}{3} = \frac{1}{5}x$，解得$x = -\frac{5}{6}$；
当$y = -\frac{1}{4}$时，代入得$-\frac{2×(-\frac{1}{4})}{3} = \frac{1}{5}x$，解得$x = \frac{5}{6}$。
因此$x$，$y$的值分别为$-\frac{5}{6}$，$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{6}$，$-\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，系数对应法
【点评】
本题考查完全平方公式的展开及多项式相等的条件，需注意平方项的解有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
根据完全平方公式展开等式左边：
$(\frac{1}{3}m - y)^2 = (\frac{1}{3}m)^2 - 2·\frac{1}{3}m· y + y^2 = \frac{1}{9}m^2 - \frac{2y}{3}m + y^2$
与等式右边$\frac{1}{9}m^2 + \frac{1}{5}mx + \frac{1}{16}$对应项系数相等：
1. 常数项：$y^2 = \frac{1}{16}$，解得$y = \pm\frac{1}{4}$；
2. 一次项系数：$-\frac{2y}{3} = \frac{1}{5}x$。
当$y = \frac{1}{4}$时，代入得$-\frac{2×\frac{1}{4}}{3} = \frac{1}{5}x$，解得$x = -\frac{5}{6}$；
当$y = -\frac{1}{4}$时，代入得$-\frac{2×(-\frac{1}{4})}{3} = \frac{1}{5}x$，解得$x = \frac{5}{6}$。
因此$x$，$y$的值分别为$-\frac{5}{6}$，$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{6}$，$-\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，系数对应法
【点评】
本题考查完全平方公式的展开及多项式相等的条件，需注意平方项的解有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12. 已知$(a + b)^2 = m$，$(a - b)^2 = n$，则用含$m$，$n$的代数式表示$ab$是
$\frac{m - n}{4}$
.答案
12.$\frac{m - n}{4}$
解析
【解析】
先利用完全平方公式展开已知等式：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = m$ ①
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = n$ ②
用① - ②得：
$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = m - n$
化简左边得：$4ab = m - n$
两边同时除以4，得：$ab = \frac{m - n}{4}$
【答案】
$\frac{m - n}{4}$
【知识点】
完全平方公式，代数式变形
【点评】
本题考查完全平方公式的应用与代数式的恒等变形，解题关键是通过展开两个完全平方公式，作差消去$a^2$与$b^2$项，进而求出$ab$的表达式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
先利用完全平方公式展开已知等式：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = m$ ①
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = n$ ②
用① - ②得：
$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = m - n$
化简左边得：$4ab = m - n$
两边同时除以4，得：$ab = \frac{m - n}{4}$
【答案】
$\frac{m - n}{4}$
【知识点】
完全平方公式，代数式变形
【点评】
本题考查完全平方公式的应用与代数式的恒等变形，解题关键是通过展开两个完全平方公式，作差消去$a^2$与$b^2$项，进而求出$ab$的表达式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
13. 若$a - \frac{1}{a} = 4$，则$a^2 + \frac{1}{a^2}$的值是
18
.答案
13. 18
解析
【解析】
将等式$a - \frac{1}{a} = 4$两边平方，根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$可得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}$
即$4^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}$
计算得$16 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
移项可得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 16 + 2 = 18$
【答案】
18
【知识点】
完全平方公式的变形应用
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对已知等式平方变形建立已知与所求的联系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
将等式$a - \frac{1}{a} = 4$两边平方，根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$可得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}$
即$4^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}$
计算得$16 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
移项可得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 16 + 2 = 18$
【答案】
18
【知识点】
完全平方公式的变形应用
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对已知等式平方变形建立已知与所求的联系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
14. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了$(a + b)^n$($n$为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律：
$(a + b)^1 = a + b$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
利用上述规律计算：$99^3 + 3×99^2 + 3×99 + 1 =$
$(a + b)^1 = a + b$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
利用上述规律计算：$99^3 + 3×99^2 + 3×99 + 1 =$
1000000
.答案
14. 1000000
解析:$\because (a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$,
$\therefore 99^{3}+3×99^{2}+3×99 + 1=(99 + 1)^{3}=1000000$.
解析:$\because (a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$,
$\therefore 99^{3}+3×99^{2}+3×99 + 1=(99 + 1)^{3}=1000000$.
解析
【解析】
$\because (a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$，
$\therefore 99^{3}+3×99^{2}+3×99 + 1=(99 + 1)^{3}=100^{3}=1000000$。
【答案】
1000000
【知识点】
完全立方公式、杨辉三角规律
【点评】
本题考查对杨辉三角所揭示的完全立方公式的理解与逆用，通过观察式子特征将其转化为完全立方形式，可实现简便计算，锻炼学生的观察与转化能力。
【难度系数】
0.8
$\because (a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$，
$\therefore 99^{3}+3×99^{2}+3×99 + 1=(99 + 1)^{3}=100^{3}=1000000$。
【答案】
1000000
【知识点】
完全立方公式、杨辉三角规律
【点评】
本题考查对杨辉三角所揭示的完全立方公式的理解与逆用，通过观察式子特征将其转化为完全立方形式，可实现简便计算，锻炼学生的观察与转化能力。
【难度系数】
0.8
