15. 用乘法公式计算：
(1)$(2a - b + c)(2a + b - c)$.
(2)$(m - n)^2(m + n)^2$.

15. (1)$4a^{2}-b^{2}+2bc - c^{2}$ (2)$m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}$

【解析】
(1) 原式$=[2a-(b-c)][2a+(b-c)]$
$=(2a)^2-(b-c)^2$
$=4a^2-(b^2-2bc+c^2)$
$=4a^2-b^2+2bc-c^2$
(2) 原式$=[(m-n)(m+n)]^2$
$=(m^2-n^2)^2$
$=m^4-2m^2n^2+n^4$
【答案】
(1)$4a^{2}-b^{2}+2bc - c^{2}$；(2)$m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，解题关键是通过对原式变形构造出公式形式，简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

16. 完全平方公式$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$适当地变形，可以解决很多的数学问题.
例如：$a + b = -5$，$ab = 6$，则$a^2 + b^2$的值.
解：因为$a + b = -5$，$ab = 6$，
所以$(a + b)^2 = 25$，$2ab = 12$，
所以$a^2 + 2ab + b^2 = 25$，
得$a^2 + b^2 = 13$.
根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
(1)若$x + y = 8$，$x^2 + y^2 = 40$，求$xy$的值；
(2)①若$(4 - x)x = 5$，则$(4 - x)^2 + x^2 =$，
②若$(4 - x)(5 - x) = 8$，则$(4 - x)^2 + (5 - x)^2 =$；
(3)如图，点$C$是线段$AB$上的一点，以$AC$，$BC$为边向两边作正方形，设$AB = 6$，两正方形的面积和$S_1 + S_2 = 18$，求图中阴影部分的面积.

16. (1)12 (2)①6 ②17 (3)$\frac{9}{2}$

【解析】
(1) 根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，变形得$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}$。
已知$x+y=8$，$x^2+y^2=40$，则$(x+y)^2=8^2=64$，代入得：
$xy=\frac{64-40}{2}=12$。
(2) ① 设$a=4-x$，$b=x$，则$a+b=4$，$ab=5$。
由完全平方公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
$(4-x)^2+x^2=4^2-2×5=16-10=6$。
② 设$m=4-x$，$n=5-x$，则$n-m=(5-x)-(4-x)=1$，$mn=8$。
由完全平方公式$m^2+n^2=(n-m)^2+2mn$，代入得：
$(4-x)^2+(5-x)^2=1^2+2×8=1+16=17$。
(3) 设$AC=a$，$BC=b$，则$a+b=AB=6$，$a^2+b^2=S_1+S_2=18$。
由$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$6^2=18+2ab$，解得$ab=9$。
阴影部分为直角三角形，面积为$\frac{1}{2}ab$，即$\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$；(2) ① $\boldsymbol{6}$，② $\boldsymbol{17}$；(3) $\boldsymbol{\frac{9}{2}}$
【知识点】
完全平方公式变形
代数式求值
三角形面积计算
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活变形应用，通过换元法或直接变形公式，将已知条件代入求解，同时结合几何图形的面积公式，体现了代数与几何的结合，需要熟练掌握完全平方公式的各种变形形式。
【难度系数】
0.6