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6. $x$，$y$的值均扩大为原来的 3 倍，下列分式的值保持不变的是()
A.$\frac{x}{y + 1}$
B.$\frac{x + y}{x^{2}}$
C.$\frac{2x}{3x - y}$
D.$\frac{xy}{x - y}$
A.$\frac{x}{y + 1}$
B.$\frac{x + y}{x^{2}}$
C.$\frac{2x}{3x - y}$
D.$\frac{xy}{x - y}$
答案
C
解析
将x，y均替换为3x，3y，分别化简各选项：
A选项：$\frac{3x}{3y+1}$，与原分式$\frac{x}{y+1}$不相等；
B选项：$\frac{3x+3y}{(3x)^2}=\frac{3(x+y)}{9x^2}=\frac{x+y}{3x^2}$，与原分式$\frac{x+y}{x^2}$不相等；
C选项：$\frac{2×3x}{3×3x - 3y}=\frac{6x}{3(3x - y)}=\frac{2x}{3x - y}$，与原分式相等；
D选项：$\frac{3x×3y}{3x - 3y}=\frac{9xy}{3(x - y)}=\frac{3xy}{x - y}$，与原分式$\frac{xy}{x - y}$不相等。
综上，分式值保持不变的是C选项。
A选项：$\frac{3x}{3y+1}$，与原分式$\frac{x}{y+1}$不相等；
B选项：$\frac{3x+3y}{(3x)^2}=\frac{3(x+y)}{9x^2}=\frac{x+y}{3x^2}$，与原分式$\frac{x+y}{x^2}$不相等；
C选项：$\frac{2×3x}{3×3x - 3y}=\frac{6x}{3(3x - y)}=\frac{2x}{3x - y}$，与原分式相等；
D选项：$\frac{3x×3y}{3x - 3y}=\frac{9xy}{3(x - y)}=\frac{3xy}{x - y}$，与原分式$\frac{xy}{x - y}$不相等。
综上，分式值保持不变的是C选项。
7. 如图，矩形$ABCD$对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，$E$为$OD$上一点，连接$CE$，取$CE$的中点$F$，若$∠ EOF = 90°$，$OE = 6$，$OF = 4$，则$DE$的长为()
A.2
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.4
A.2
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.4
答案
D
解析
1. 以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O(0,0)，E(6,0)。
2. 由∠EOF=90°，OF=4，可得F(0,4)。
3. 因为F是CE的中点，设C(m,n)，根据中点坐标公式：$\frac{6+m}{2}=0$，$\frac{0+n}{2}=4$，解得m=-6，n=8，即C(-6,8)。
4. 矩形对角线互相平分且相等，故OC=OD，计算OC的长度：$OC=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10$，因此OD=10。
5. 已知OE=6，所以DE=OD-OE=10-6=4。
2. 由∠EOF=90°，OF=4，可得F(0,4)。
3. 因为F是CE的中点，设C(m,n)，根据中点坐标公式：$\frac{6+m}{2}=0$，$\frac{0+n}{2}=4$，解得m=-6，n=8，即C(-6,8)。
4. 矩形对角线互相平分且相等，故OC=OD，计算OC的长度：$OC=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10$，因此OD=10。
5. 已知OE=6，所以DE=OD-OE=10-6=4。
8. 如图，正方形$ABCD$的边长为 9，$E$为对角线$AC$上一点，连接$DE$，过点$E$作$EF ⊥ DE$，交射线$BC$于点$F$，以$DE$，$EF$为邻边作矩形$DEFG$，连接$CG$，下列结论中不正确的是()
A.矩形$DEFG$是正方形
B.$∠ CEF = ∠ ADE$
C.$CG$平分$∠ DCH$
D.$CE + CG = 9\sqrt{2}$
A.矩形$DEFG$是正方形
B.$∠ CEF = ∠ ADE$
C.$CG$平分$∠ DCH$
D.$CE + CG = 9\sqrt{2}$
答案
B
解析
1. 选项A：过E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，由正方形对角线性质得EM=EN，∠MEN=90°。因为EF⊥DE，所以∠DEN=∠MEF，可证△DEN≌△FEM，得DE=EF，故矩形DEFG是正方形，A正确。
2. 选项B：在△ADE中，∠DAE=45°，则∠ADE+∠AED=135°；由∠DEF=90°，得∠AED+∠CEF=90°，因此∠CEF=90°-∠AED，∠ADE=135°-∠AED，故∠ADE=∠CEF+45°，∠CEF≠∠ADE，B错误。
3. 选项C：由正方形DEFG得DE=DG，∠EDG=90°，结合∠ADC=90°，得∠ADE=∠CDG。又AD=CD，可证△ADE≌△CDG，得∠DCG=∠DAE=45°。因为∠DCH=90°，所以∠GCH=45°，即CG平分∠DCH，C正确。
4. 选项D：由△ADE≌△CDG得CG=AE，因此CE+CG=CE+AE=AC。正方形边长为9，AC=9√2，故CE+CG=9√2，D正确。
2. 选项B：在△ADE中，∠DAE=45°，则∠ADE+∠AED=135°；由∠DEF=90°，得∠AED+∠CEF=90°，因此∠CEF=90°-∠AED，∠ADE=135°-∠AED，故∠ADE=∠CEF+45°，∠CEF≠∠ADE，B错误。
3. 选项C：由正方形DEFG得DE=DG，∠EDG=90°，结合∠ADC=90°，得∠ADE=∠CDG。又AD=CD，可证△ADE≌△CDG，得∠DCG=∠DAE=45°。因为∠DCH=90°，所以∠GCH=45°，即CG平分∠DCH，C正确。
4. 选项D：由△ADE≌△CDG得CG=AE，因此CE+CG=CE+AE=AC。正方形边长为9，AC=9√2，故CE+CG=9√2，D正确。
二、填空题(每题 2 分，共 16 分)
9. 因式分解：$2m^{2} - 8 =$.
9. 因式分解：$2m^{2} - 8 =$.
答案
解：
$2m^{2} - 8$
$=2(m^{2}-4)$
$=2(m+2)(m-2)$
$2m^{2} - 8$
$=2(m^{2}-4)$
$=2(m+2)(m-2)$
10. 当$x =$时，分式$\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$的值为 0.
答案
2
解析
要使分式$\frac{x^{2}-4}{x+2}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0。
1. 令分子$x^2 - 4 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$；
2. 分母$x+2≠0$，即$x≠-2$；
3. 综上，$x=2$。
1. 令分子$x^2 - 4 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$；
2. 分母$x+2≠0$，即$x≠-2$；
3. 综上，$x=2$。
11. 若关于$x$的分式方程$\frac{x - 7}{x - 6} - \frac{k}{6 - x} = 7$有增根，则$k =$.
答案
1
解析
1. 将原方程变形为$\frac{x - 7}{x - 6} + \frac{k}{x - 6} = 7$；
2. 两边同乘最简公分母$(x-6)$，去分母得整式方程：$x - 7 + k = 7(x - 6)$；
3. 分式方程有增根，则增根为使分母为0的$x=6$；
4. 将$x=6$代入整式方程：$6 - 7 + k = 7×(6 - 6)$，解得$k=1$。
2. 两边同乘最简公分母$(x-6)$，去分母得整式方程：$x - 7 + k = 7(x - 6)$；
3. 分式方程有增根，则增根为使分母为0的$x=6$；
4. 将$x=6$代入整式方程：$6 - 7 + k = 7×(6 - 6)$，解得$k=1$。
12. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在$BC$，$AD$上，连接$AE$，$CF$.要使四边形$AECF$是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是(写出一个即可).
答案
$AF=EC$（答案不唯一）
解析
已知四边形$ABCD$是平行四边形，因此$AD// BC$，即$AF// EC$。若添加条件$AF=EC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$AECF$是平行四边形。（添加$BE=DF$、$AE// CF$等合理条件均可）
13. 如图，矩形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ AOD = 120°$，$AC = 16$，则矩形$ABCD$的周长为.
答案
$16+16\sqrt{3}$
解析
1. 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AC=BD=16$，$OA=OC=OB=OD=8$，$∠ BAD=90°$；
2. 由$∠ AOD=120°$，得$∠ AOB=180°-120°=60°$；
3. 因为$OA=OB$，$∠ AOB=60°$，所以$△ AOB$是等边三角形，故$AB=OA=8$；
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}$；
5. 矩形$ABCD$的周长$=2(AB+AD)=2×(8+8\sqrt{3})=16+16\sqrt{3}$。
2. 由$∠ AOD=120°$，得$∠ AOB=180°-120°=60°$；
3. 因为$OA=OB$，$∠ AOB=60°$，所以$△ AOB$是等边三角形，故$AB=OA=8$；
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}$；
5. 矩形$ABCD$的周长$=2(AB+AD)=2×(8+8\sqrt{3})=16+16\sqrt{3}$。
14. 一个口袋中装有黑色和白色小球共 20 个，它们除颜色之外完全相同.将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到白球的频率稳定在 0.35 左右，则估计这个口袋中黑球的个数为.
答案
13
解析
根据频率估计概率，摸到白球的概率约为0.35。先计算白球个数：20×0.35=7个，再用总球数减去白球个数得到黑球个数：20-7=13个。
