6. 如图，四边形 OABC 是平行四边形，以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于点 D，延长 AO 交⊙O 于点 E，连结 CD，CE，且 CE 是⊙O 的切线。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若 BC = 3，CD = 4，求平行四边形 OABC 的面积。

6. (1)略 (2)12

【解析】
（1）证明：连接OD。
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC//AB，OA=BC，∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA。
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠COD。
在△EOC和△DOC中，
$\{\begin{array}{l} OE=OD \\ ∠EOC=∠COD \\ OC=OC \end{array} $
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥CD。
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
（2）解：
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，即OD=OA=3。
在Rt△ODC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$S_{△ ODC}=\frac{1}{2}×OD×CD=\frac{1}{2}×3×4=6$，
又
∵四边形OABC是平行四边形，OC//AB，
∴$S_{\mathrm{平行四边形}OABC}=2S_{△ ODC}=12$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boxed{12}$
【知识点】
切线的判定与性质；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆与平行四边形的相关性质，第一问通过全等三角形证垂直来判定切线，第二问利用三角形面积与平行四边形面积的关系求解，需理清图形边角关系，熟练运用相关定理。
【难度系数】
0.6

7. 如图，在△ABC 中，AB = AC，O 为 BC 的中点，AC 与半圆 O 相切于点 D。
（1）求证：AB 是半圆 O 的切线；
（2）若 cos∠ABC = $\frac{2}{3}$，AB = 12，求半圆 O 所在圆的半径。

7. (1)略 (2)$ \frac { 8 \sqrt { 5 } } { 3 } $

【解析】
（1）证明：过点$ O $作$ OE ⊥ AB $于点$ E $，连接$ OD $、$ OA $。
因为$ AB = AC $，$ O $为$ BC $的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，$ AO $平分$ ∠ BAC $。
又因为$ AC $与半圆$ O $相切于点$ D $，所以$ OD ⊥ AC $（切线的性质）。
因为$ OE ⊥ AB $，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$ OD = OE $。
因为$ OD $是半圆$ O $的半径，所以$ OE $也是半圆$ O $的半径，且$ OE ⊥ AB $，根据切线的判定定理，可知$ AB $是半圆$ O $的切线。
（2）解：连接$ AO $，因为$ AB = AC = 12 $，$ O $为$ BC $的中点，所以$ AO ⊥ BC $（等腰三角形三线合一）。
在$ \mathrm{Rt}△ ABO $中，$ \cos∠ ABC = \frac{BO}{AB} = \frac{2}{3} $，$ AB = 12 $，则$ BO = AB × \frac{2}{3} = 12 × \frac{2}{3} = 8 $。
由勾股定理得：$ AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $。
因为$ S_{△ ABO} = \frac{1}{2} × AO × BO = \frac{1}{2} × AB × OE $（$ OE $为半圆$ O $的半径），代入数值：
$ \frac{1}{2} × 4\sqrt{5} × 8 = \frac{1}{2} × 12 × OE $，
解得$ OE = \frac{8\sqrt{5}}{3} $，即半圆$ O $所在圆的半径为$ \frac{8\sqrt{5}}{3} $。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{\frac{8\sqrt{5}}{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，切线的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查等腰三角形三线合一的性质、切线的判定与性质，以及利用解直角三角形和面积法求解线段长度，需要熟练运用几何性质与代数计算相结合的方法，综合性较强。
【难度系数】
0.6