登录
1. 如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，点 C 在优弧$\overset{\frown}{AB}$上。若∠P = 50°，则∠C 的度数为
$ 65 ^ { \circ } $
。答案
1. $ 65 ^ { \circ } $
解析
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，∠P=50°，根据四边形内角和为360°，可得∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，
∵∠C是优弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理
【点评】
本题主要考查切线的性质与圆周角定理的综合运用，解题关键是通过连接圆心与切点构造直角，利用四边形内角和求出圆心角，再结合圆周角定理求解圆周角。
【难度系数】
0.7
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，∠P=50°，根据四边形内角和为360°，可得∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，
∵∠C是优弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理
【点评】
本题主要考查切线的性质与圆周角定理的综合运用，解题关键是通过连接圆心与切点构造直角，利用四边形内角和求出圆心角，再结合圆周角定理求解圆周角。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点 O，与⊙O 分别相交于点 D，C。若∠ACB = 30°，AB = $\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为
$ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \frac { π } { 6 } $
。答案
2. $ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \frac { π } { 6 } $
解析
【解析】
连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°。
∵∠ACB=30°，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，则∠A=30°。
在Rt△OBA中，设OB=r，则OA=2r，
由勾股定理得：$r^2 + (\sqrt{3})^2=(2r)^2$，
解得r=1，即OB=1。
$S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$S_{扇形OBD} = \frac{60π × 1^2}{360} = \frac{π}{6}$，
∴阴影部分面积 = $S_{△ OAB} - S_{扇形OBD} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6}$
【知识点】
切线的性质、扇形面积计算、直角三角形性质
【点评】
本题考查切线性质与扇形面积的综合应用，需结合圆周角定理、直角三角形性质求解，关键是通过切线性质构造直角三角形求出半径，再用割补法求阴影面积。
【难度系数】
0.6
连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°。
∵∠ACB=30°，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，则∠A=30°。
在Rt△OBA中，设OB=r，则OA=2r，
由勾股定理得：$r^2 + (\sqrt{3})^2=(2r)^2$，
解得r=1，即OB=1。
$S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$S_{扇形OBD} = \frac{60π × 1^2}{360} = \frac{π}{6}$，
∴阴影部分面积 = $S_{△ OAB} - S_{扇形OBD} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6}$
【知识点】
切线的性质、扇形面积计算、直角三角形性质
【点评】
本题考查切线性质与扇形面积的综合应用，需结合圆周角定理、直角三角形性质求解，关键是通过切线性质构造直角三角形求出半径，再用割补法求阴影面积。
【难度系数】
0.6
3. 如图，半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA，CB 分别相切于 D，E 两点，直径 FG 在 AB 上，若 BG = $\sqrt{2}$ - 1，则△ABC 的周长为
$ 4 + 2 \sqrt { 2 } $
。答案
3. $ 4 + 2 \sqrt { 2 } $
解析
【解析】
连接OD、OE，设半圆O的半径为$ r $。
∵半圆O与CA、CB分别相切于D、E两点，
∴$ OD ⊥ AC $，$ OE ⊥ BC $，$ OD=OE=r $。
∵$ △ ABC $是等腰直角三角形，$ ∠ C=90° $，
∴四边形ODCE是正方形，$ ∠ B=45° $，则$ △ OEB $为等腰直角三角形，故$ OB=\sqrt{2}r $。
又$ OB=OG+BG=r+(\sqrt{2}-1) $，因此可得方程：
$ \sqrt{2}r = r+\sqrt{2}-1 $，
解得$ r=1 $。
由$ △ AOD $为等腰直角三角形，得$ AO=\sqrt{2}r=\sqrt{2} $，则$ AB=AO+OB=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} $，
$ AC=BC=AD+DC=r+r=2 $，
∴$ △ ABC $的周长为$ AC+BC+AB=2+2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2} $。
【答案】
$4+2\sqrt{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，切线的性质，正方形的判定与性质
【点评】
本题需通过连接辅助线，利用切线性质构造特殊图形，结合等腰直角三角形的边角关系建立方程求解，考查了对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
连接OD、OE，设半圆O的半径为$ r $。
∵半圆O与CA、CB分别相切于D、E两点，
∴$ OD ⊥ AC $，$ OE ⊥ BC $，$ OD=OE=r $。
∵$ △ ABC $是等腰直角三角形，$ ∠ C=90° $，
∴四边形ODCE是正方形，$ ∠ B=45° $，则$ △ OEB $为等腰直角三角形，故$ OB=\sqrt{2}r $。
又$ OB=OG+BG=r+(\sqrt{2}-1) $，因此可得方程：
$ \sqrt{2}r = r+\sqrt{2}-1 $，
解得$ r=1 $。
由$ △ AOD $为等腰直角三角形，得$ AO=\sqrt{2}r=\sqrt{2} $，则$ AB=AO+OB=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} $，
$ AC=BC=AD+DC=r+r=2 $，
∴$ △ ABC $的周长为$ AC+BC+AB=2+2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2} $。
【答案】
$4+2\sqrt{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，切线的性质，正方形的判定与性质
【点评】
本题需通过连接辅助线，利用切线性质构造特殊图形，结合等腰直角三角形的边角关系建立方程求解，考查了对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图，DB 为半圆的直径，A 为 BD 延长线上一点，AC 切半圆于点 E，BC⊥AC 于点 C，交半圆于点 F。已知 AC = 12，BC = 9。则 AO 的长为
$ \frac { 75 } { 8 } $
。答案
4. $ \frac { 75 } { 8 } $
解析
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=9$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。
2. 设半圆的半径为$r$，连接$OE$。因为$AC$切半圆于点$E$，根据切线的性质，$OE⊥ AC$。
又$BC⊥ AC$，故$OE// BC$，因此$△ AEO ∼ △ ACB$。
3. 由相似三角形的性质，对应边成比例，得$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$。
其中$OE=r$，$AO=15 - r$，代入比例式得：
$\frac{r}{9}=\frac{15 - r}{15}$，
交叉相乘解得：$r=\frac{45}{8}$。
4. 将$r=\frac{45}{8}$代入$AO=15 - r$，得$AO=15 - \frac{45}{8}=\frac{75}{8}$。
【答案】
$\frac{75}{8}$
【知识点】
勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查几何定理的应用，关键是利用切线性质构造相似三角形，结合勾股定理与相似比建立方程求解，需熟练掌握相关几何性质的综合运用。
【难度系数】
0.6
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=9$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。
2. 设半圆的半径为$r$，连接$OE$。因为$AC$切半圆于点$E$，根据切线的性质，$OE⊥ AC$。
又$BC⊥ AC$，故$OE// BC$，因此$△ AEO ∼ △ ACB$。
3. 由相似三角形的性质，对应边成比例，得$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$。
其中$OE=r$，$AO=15 - r$，代入比例式得：
$\frac{r}{9}=\frac{15 - r}{15}$，
交叉相乘解得：$r=\frac{45}{8}$。
4. 将$r=\frac{45}{8}$代入$AO=15 - r$，得$AO=15 - \frac{45}{8}=\frac{75}{8}$。
【答案】
$\frac{75}{8}$
【知识点】
勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查几何定理的应用，关键是利用切线性质构造相似三角形，结合勾股定理与相似比建立方程求解，需熟练掌握相关几何性质的综合运用。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 3，连结 AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则 PQ 的长为(
A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$2\sqrt{2}$
B
)A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
5. B
解析
【解析】
1. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
2. $△ ABC$和$△ ADC$均为全等的直角三角形，根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得两圆半径均为$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
3. 建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,3)$，$D(0,3)$：
$△ ABC$的内切圆$\odot P$的圆心坐标为$(3,1)$；
$△ ADC$的内切圆$\odot Q$的圆心坐标为$(1,2)$。
4. 根据两点间距离公式，$PQ=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，直角三角形内切圆半径，两点间距离公式
【点评】
本题考查矩形与内切圆的综合应用，需熟练掌握直角三角形内切圆半径公式及两点间距离公式，通过建立坐标系可简化坐标求解与距离计算。
【难度系数】
0.4
1. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
2. $△ ABC$和$△ ADC$均为全等的直角三角形，根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得两圆半径均为$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
3. 建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,3)$，$D(0,3)$：
$△ ABC$的内切圆$\odot P$的圆心坐标为$(3,1)$；
$△ ADC$的内切圆$\odot Q$的圆心坐标为$(1,2)$。
4. 根据两点间距离公式，$PQ=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，直角三角形内切圆半径，两点间距离公式
【点评】
本题考查矩形与内切圆的综合应用，需熟练掌握直角三角形内切圆半径公式及两点间距离公式，通过建立坐标系可简化坐标求解与距离计算。
【难度系数】
0.4
