8. 如图，在⊙O 中，C 是直径 AB 延长线上一点，过点 C 作⊙O 的切线，切点为 D，连结 BD。
（1）求证：∠A = ∠BDC；
（2）若 CM 平分∠ACD，且分别交 AD，BD 于点 M，N，当 DM = 1 时，求 MN 的长。

8. (1)略 (2)$ \sqrt { 2 } $

【解析】
（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，即∠ODC=90°，
∴∠BDC + ∠ODB = 90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠A + ∠OBD=90°，
又
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠A=∠BDC；
（2）解：
∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM=∠ACM，
由（1）知∠A=∠BDC，
∴∠A + ∠ACM = ∠BDC + ∠DCM，即∠DMN=∠DNM，
∵∠ADB=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∵DM=1，
∴MN=√2 DM=√2×1=√2。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\sqrt{2}$
【知识点】
圆的切线性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆与三角形的相关知识，需通过连接辅助线、角的等量转化推导结论，要求熟练掌握圆的切线性质、圆周角定理及等腰三角形相关性质，培养逻辑推理与几何计算能力。
【难度系数】
0.6

9. 如图，BD 是⊙O 的直径，OA⊥OB，M 是劣弧$\overset{\frown}{AB}$上一点，过点 M 点作⊙O 的切线 MP 交 OA 的延长线于点 P，MD 与 OA 交于点 N。
（1）求证：PM = PN；
（2）若 BD = 4，PA = $\frac{3}{2}$AO，过点 B 作 BC//MP 交⊙O 于点 C，求 BC 的长。

9. (1)略 (2)$ \frac { 8 } { 5 } $

【解析】
（1）证明：连接OM，
∵MP是⊙O的切线，
∴OM⊥MP，即∠OMP=90°，
∴∠OMD+∠PMN=90°．
∵BD是⊙O的直径，OA⊥OB，
∴∠BOD=90°，
∴∠ODN+∠OND=90°．
∵OM=OD，
∴∠OMD=∠ODN，
∴∠PMN=∠OND．
又
∵∠OND=∠PNM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN．
（2）解：
∵BD=4，
∴⊙O的半径OB=OM=OA=2．
∵PA=$\frac{3}{2}$AO，
∴PA=$\frac{3}{2}$×2=3，
∴OP=OA+PA=2+3=5．
过点O作OE⊥BC于E，
∵BC//MP，OM⊥MP，
∴OM⊥BC，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC（垂径定理）．
∵∠OEB=∠OMP=90°，∠POB=90°，
∴∠BOE+∠EOP=90°，∠P+∠EOP=90°，
∴∠BOE=∠P，
∴△OEB∽△PMO（AA）．
由相似得$\frac{BE}{OM}=\frac{OB}{OP}$，即$\frac{BE}{2}=\frac{2}{5}$，
解得BE=$\frac{4}{5}$，
∴BC=2BE=$\frac{8}{5}$．
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题考查圆的综合应用，需熟练运用切线性质、垂径定理转化条件，结合相似三角形求解线段长度，第一问通过角的等量转化证线段相等，第二问利用垂径定理与相似三角形的性质求解弦长，对几何综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6