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14. (★★)如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 $6\mathrm{cm}$，射线 $AG// BC$，点 $E$ 从点 $A$ 出发沿射线 $AG$ 以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度运动，点 $F$ 从点 $B$ 出发沿射线 $BC$ 以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度运动。当以 $A$，$C$，$E$，$F$ 为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为 【 】
A.$1\mathrm{s}$ 或 $2\mathrm{s}$
B.$2\mathrm{s}$ 或 $6\mathrm{s}$
C.$2\mathrm{s}$ 或 $4\mathrm{s}$
D.$2\mathrm{s}$ 或 $3\mathrm{s}$
A.$1\mathrm{s}$ 或 $2\mathrm{s}$
B.$2\mathrm{s}$ 或 $6\mathrm{s}$
C.$2\mathrm{s}$ 或 $4\mathrm{s}$
D.$2\mathrm{s}$ 或 $3\mathrm{s}$
答案
B
解析
设运动时间为$ t \, \mathrm{s} $。
∵ $ AG // BC $，要使以$ A $，$ C $，$ E $，$ F $为顶点的四边形是平行四边形，需$ AE // CF $且$ AE = CF $。
点$ E $速度为$ 1 \, \mathrm{cm/s} $，则$ AE = t \, \mathrm{cm} $；点$ F $速度为$ 2 \, \mathrm{cm/s} $，则$ BF = 2t \, \mathrm{cm} $。
情况1：$ F $在$ B $，$ C $之间（$ 2t ≤ 6 $，即$ t ≤ 3 $），此时$ CF = BC - BF = 6 - 2t $。
由$ AE = CF $得：$ t = 6 - 2t $，解得$ t = 2 $。
情况2：$ F $在$ C $的延长线上（$ 2t ＞ 6 $，即$ t ＞ 3 $），此时$ CF = BF - BC = 2t - 6 $。
由$ AE = CF $得：$ t = 2t - 6 $，解得$ t = 6 $。
综上，运动时间为$ 2 \, \mathrm{s} $或$ 6 \, \mathrm{s} $。
∵ $ AG // BC $，要使以$ A $，$ C $，$ E $，$ F $为顶点的四边形是平行四边形，需$ AE // CF $且$ AE = CF $。
点$ E $速度为$ 1 \, \mathrm{cm/s} $，则$ AE = t \, \mathrm{cm} $；点$ F $速度为$ 2 \, \mathrm{cm/s} $，则$ BF = 2t \, \mathrm{cm} $。
情况1：$ F $在$ B $，$ C $之间（$ 2t ≤ 6 $，即$ t ≤ 3 $），此时$ CF = BC - BF = 6 - 2t $。
由$ AE = CF $得：$ t = 6 - 2t $，解得$ t = 2 $。
情况2：$ F $在$ C $的延长线上（$ 2t ＞ 6 $，即$ t ＞ 3 $），此时$ CF = BF - BC = 2t - 6 $。
由$ AE = CF $得：$ t = 2t - 6 $，解得$ t = 6 $。
综上，运动时间为$ 2 \, \mathrm{s} $或$ 6 \, \mathrm{s} $。
15. (★★)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = DC$，$AB// DC$，$E$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AE$，$AC$。若四边形 $ABCD$ 的面积为 $20$，则$△ AEC$ 的面积为。
答案
5
解析
因为$AB=DC$且$AB// DC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形，其面积为$20$，则$△ ABC$的面积为$10$（平行四边形对角线平分面积）。又因为$E$为$BC$中点，所以$BE=EC$，故$△ AEC$的面积是$△ ABC$面积的一半，即$5$。
16. (★★)如图，在$□ ABCD$中，延长 $AB$ 到点 $E$，延长 $CD$ 到点 $F$，使 $BE = DF$，则线段 $AC$ 与 $EF$ 是否互相平分？请说明理由。
答案
解：线段$AC$与$EF$互相平分。
理由如下：
连接$AF$，$CE$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD$。
又因为$BE = DF$，所以$AB + BE = CD + DF$，即$AE = CF$。
因为$AE// CF$，所以四边形$AECF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，所以线段$AC$与$EF$互相平分。
理由如下：
连接$AF$，$CE$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD$。
又因为$BE = DF$，所以$AB + BE = CD + DF$，即$AE = CF$。
因为$AE// CF$，所以四边形$AECF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，所以线段$AC$与$EF$互相平分。
17. (★★★)在$□ ABCD$中，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$DC$ 上的点，且 $AE = CF$，连接 $DE$，$BF$，$AF$。
(1)求证：四边形 $DEBF$ 是平行四边形；
(2)若 $AF$ 平分$∠ DAB$，$AE = 3$，$DE = 4$，$BE = 5$，求 $AF$ 的长。
(1)求证：四边形 $DEBF$ 是平行四边形；
(2)若 $AF$ 平分$∠ DAB$，$AE = 3$，$DE = 4$，$BE = 5$，求 $AF$ 的长。
答案
(1)
在平行四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，
$\because AE = CF$，
$\therefore AB - AE = CD - CF$，
即$BE = DF$，
又$\because$在平行四边形$ABCD$中，$EB// DF$，
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
所以四边形$DEBF$是平行四边形。
(2)
$\because AB// CD$，$AF$平分$∠ DAB$，
$\therefore∠ DAF = ∠ BAF$，$∠ DFA = ∠ BAF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore∠ DAF = ∠ DFA$，
$\therefore AD = DF = BE = 5$（等角对等边），
$\because AE = 3$，$DE = 4$，
根据勾股定理的逆定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，在$△ AED$中，$3^{2}+4^{2}=5^{2}$，即$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，
$\therefore∠ AED = 90^{\circ}$，
又$\because$四边形$DEBF$是平行四边形，
$\therefore DE// BF$，
$\therefore∠ ABF = ∠ AED = 90^{\circ}$，
在$Rt△ ABF$中，根据勾股定理$AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}$，
已知$AB = AE + BE = 3 + 5 = 8$，$BF = DE = 4$，
所以$AF=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{64 + 16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
综上，答案为：(1)证明见上述过程；(2)$4\sqrt{5}$。
在平行四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，
$\because AE = CF$，
$\therefore AB - AE = CD - CF$，
即$BE = DF$，
又$\because$在平行四边形$ABCD$中，$EB// DF$，
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
所以四边形$DEBF$是平行四边形。
(2)
$\because AB// CD$，$AF$平分$∠ DAB$，
$\therefore∠ DAF = ∠ BAF$，$∠ DFA = ∠ BAF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore∠ DAF = ∠ DFA$，
$\therefore AD = DF = BE = 5$（等角对等边），
$\because AE = 3$，$DE = 4$，
根据勾股定理的逆定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，在$△ AED$中，$3^{2}+4^{2}=5^{2}$，即$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，
$\therefore∠ AED = 90^{\circ}$，
又$\because$四边形$DEBF$是平行四边形，
$\therefore DE// BF$，
$\therefore∠ ABF = ∠ AED = 90^{\circ}$，
在$Rt△ ABF$中，根据勾股定理$AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}$，
已知$AB = AE + BE = 3 + 5 = 8$，$BF = DE = 4$，
所以$AF=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{64 + 16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
综上，答案为：(1)证明见上述过程；(2)$4\sqrt{5}$。
