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8. (★)如图，在 $7×7$ 的正方形网格图中，将$△ ABC$ 平移到$△ DEF$ 的位置，甲、乙的说法正确的是 【 】
甲：线段 $BE$ 的长可以看作平移的最短距离；
乙：连接 $AD$，$CF$，四边形 $ADFC$ 是平行四边形。
A.只有甲对
B.只有乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
甲：线段 $BE$ 的长可以看作平移的最短距离；
乙：连接 $AD$，$CF$，四边形 $ADFC$ 是平行四边形。
A.只有甲对
B.只有乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
答案
B
解析
甲：平移距离为对应点连线长度，所有对应点连线长度相等，不存在“最短”，甲错误；乙：AD与CF为对应点连线，根据平移性质，AD平行且等于CF，故四边形ADFC是平行四边形，乙正确。
9. (★★)在平面直角坐标系中，已知点 $O(0,0)$，$A(2,2)$，$B(3,0)$，若以点 $O$，$A$，$B$，$C$ 为顶点的四边形是平行四边形，则点 $C$ 的坐标不可能为 【 】
A.$(-1,2)$
B.$(5,2)$
C.$(1,-2)$
D.$(2,-2)$
A.$(-1,2)$
B.$(5,2)$
C.$(1,-2)$
D.$(2,-2)$
答案
D
解析
分三种情况讨论：
1. 以AB为对角线，OA、OB为邻边：AB中点坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{2+0}{2})=(2.5,1)$，则OC中点也为$(2.5,1)$，O(0,0)，故C(5,2)（选项B）；
2. 以OA为对角线，OB、AB为邻边：OA中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2})=(1,1)$，则BC中点也为$(1,1)$，B(3,0)，故C(-1,2)（选项A）；
3. 以OB为对角线，OA、AB为邻边：OB中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+0}{2})=(1.5,0)$，则AC中点也为$(1.5,0)$，A(2,2)，故C(1,-2)（选项C）。
综上，点C坐标不可能为(2,-2)。
1. 以AB为对角线，OA、OB为邻边：AB中点坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{2+0}{2})=(2.5,1)$，则OC中点也为$(2.5,1)$，O(0,0)，故C(5,2)（选项B）；
2. 以OA为对角线，OB、AB为邻边：OA中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2})=(1,1)$，则BC中点也为$(1,1)$，B(3,0)，故C(-1,2)（选项A）；
3. 以OB为对角线，OA、AB为邻边：OB中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+0}{2})=(1.5,0)$，则AC中点也为$(1.5,0)$，A(2,2)，故C(1,-2)（选项C）。
综上，点C坐标不可能为(2,-2)。
10. (★★)如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$，$∠ BCD$ 的平分线 $AF$，$CE$ 分别交 $DC$，$BA$ 的延长线于点 $F$，$E$，又分别交 $BC$，$AD$ 于点 $G$，$H$，则图中共有 个平行四边形，它们是。
答案
4；□ABCD，□AECF，□AGCH，□EHFG
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∠BAD=∠BCD。
∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴∠BAF=∠DAF=∠DCE=∠BCE。
1. □ABCD：已知为平行四边形。
2. □AECF：∵AB//CD，∴AE//CF（BA延长线与DC延长线平行）；∵∠BAF=∠DCE，AB//CD得∠DCE=∠E，∴∠BAF=∠E，故AF//CE。∴AECF是平行四边形。
3. □AGCH：∵AD//BC，∴AH//CG；∵AF//CE，∴AG//CH。∴AGCH是平行四边形。
4. □EHFG：∵AF//CE，∴EH//FG；∵AGCH是平行四边形，∴AG=CH，又AF=CE（□AECF对边相等），∴FG=EH。∴EHFG是平行四边形。
∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴∠BAF=∠DAF=∠DCE=∠BCE。
1. □ABCD：已知为平行四边形。
2. □AECF：∵AB//CD，∴AE//CF（BA延长线与DC延长线平行）；∵∠BAF=∠DCE，AB//CD得∠DCE=∠E，∴∠BAF=∠E，故AF//CE。∴AECF是平行四边形。
3. □AGCH：∵AD//BC，∴AH//CG；∵AF//CE，∴AG//CH。∴AGCH是平行四边形。
4. □EHFG：∵AF//CE，∴EH//FG；∵AGCH是平行四边形，∴AG=CH，又AF=CE（□AECF对边相等），∴FG=EH。∴EHFG是平行四边形。
11. (★★)如图，已知$□ ABCD$中，$AE = CF$，$M$，$N$ 分别是 $DE$，$BF$ 的中点。求证：四边形 $MFNE$ 是平行四边形。
答案
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵AE=CF，
∴AB - AE = CD - CF，即EB=FD。
∵AB//CD，
∴EB//FD。
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴DE//BF，DE=BF。
∵M，N分别是DE，BF的中点，
∴ME=1/2 DE，NF=1/2 BF。
∴ME=NF。
又∵DE//BF，
∴ME//NF。
∴四边形MFNE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵AE=CF，
∴AB - AE = CD - CF，即EB=FD。
∵AB//CD，
∴EB//FD。
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴DE//BF，DE=BF。
∵M，N分别是DE，BF的中点，
∴ME=1/2 DE，NF=1/2 BF。
∴ME=NF。
又∵DE//BF，
∴ME//NF。
∴四边形MFNE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
12. (★)在四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD$，要使四边形 $ABCD$ 是平行四边形，还应满足【 】
A.$∠ A+∠ C = 180^{\circ}$
B.$∠ B+∠ C = 180^{\circ}$
C.$∠ A+∠ B = 180^{\circ}$
D.$∠ B+∠ D = 180^{\circ}$
A.$∠ A+∠ C = 180^{\circ}$
B.$∠ B+∠ C = 180^{\circ}$
C.$∠ A+∠ B = 180^{\circ}$
D.$∠ B+∠ D = 180^{\circ}$
答案
B
解析
已知四边形ABCD中AB=CD，要使其为平行四边形，需满足另一组对边平行或这组对边平行。选项C中∠A+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得AD//BC，又AB=CD，不能直接判定为平行四边形；选项B中∠B+∠C=180°，可得AB//CD，此时AB=CD且AB//CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形。
13. (★★)如图，$∠ ACB = ∠ AED = 90^{\circ}$，$AC = FE$，$AB$ 平分$∠ CAE$，$AB// FD$。
求证：四边形 $ABDF$ 是平行四边形。
求证：四边形 $ABDF$ 是平行四边形。
答案
证明：
1. ∵AB平分∠CAE，∴∠CAB=∠EAB（角平分线定义）。
2. ∵AB//FD，∴∠EAB=∠AFD（两直线平行，同位角相等），∴∠CAB=∠AFD。
3. ∵∠ACB=∠AED=90°，∴∠FED=90°（F在AE上，∠FED=∠AED）。
4. 在△ACB和△FED中：
$\{\begin{array}{l} ∠C=∠E=90° \\ ∠CAB=∠EFD \\ AC=FE \end{array} $
∴△ACB≌△FED（AAS）。
5. ∴AB=FD（全等三角形对应边相等）。
6. ∵AB//FD且AB=FD，∴四边形ABDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
1. ∵AB平分∠CAE，∴∠CAB=∠EAB（角平分线定义）。
2. ∵AB//FD，∴∠EAB=∠AFD（两直线平行，同位角相等），∴∠CAB=∠AFD。
3. ∵∠ACB=∠AED=90°，∴∠FED=90°（F在AE上，∠FED=∠AED）。
4. 在△ACB和△FED中：
$\{\begin{array}{l} ∠C=∠E=90° \\ ∠CAB=∠EFD \\ AC=FE \end{array} $
∴△ACB≌△FED（AAS）。
5. ∴AB=FD（全等三角形对应边相等）。
6. ∵AB//FD且AB=FD，∴四边形ABDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
