9. 使式子$\sqrt{\frac{a}{a - 5}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$成立的条件是【 】

A.$a ≥ 5$
B.$a ＞ 5$
C.$0 ≤ a ≤ 5$
D.$0 ≤ a ＜ 5$

B

要使等式$\sqrt{\frac{a}{a - 5}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$成立，需满足分子根号下的数非负，分母根号下的数为正，且分母不为零。即$\begin{cases}a≥0\\a - 5＞0\end{cases}$，解得$a＞5$。

10. $0.5$的算术平方根等于【 】

A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

C

0.5即$\frac{1}{2}$，其算术平方根为$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

11. 化简：

(1)$\sqrt{1 \frac{15}{49}}$；
(2)$\sqrt{\frac{7}{100}}$；
(3)$\sqrt{\frac{25 a^{4}}{9 b^{2}}}(b ＞ 0)$。

(1)
$\sqrt{1 \frac{15}{49}} = \sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}} = \frac{8}{7}$。
(2)
$\sqrt{\frac{7}{100}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{7}}{10}$。
(3)
由于 $b ＞ 0$，
$\sqrt{\frac{25 a^{4}}{9 b^{2}}} = \frac{\sqrt{25 a^{4}}}{\sqrt{9 b^{2}}} = \frac{5a^{2}}{3b}$。

12. 计算$\sqrt{\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{\frac{3}{2}}$的结果是【 】

A.$1$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.以上选项都不对

B

$\sqrt{\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3} ÷ \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3} × \frac{2}{3}} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2} = \frac{2}{3}$

13. 下列各式计算正确的是【 】

A.$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = 16$
B.$\sqrt{\frac{3}{11}} ÷ \sqrt{3 \frac{2}{3}} = 1$
C.$\frac{3 \sqrt{6}}{6 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

D.$\frac{\sqrt{54 a^{2} b}}{\sqrt{6 a}} = 9 \sqrt{a b}$

C

选项A:$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$，选项A不正确。
选项B:$\sqrt{\frac{3}{11}} ÷ \sqrt{3\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3}{11}} ÷ \sqrt{\frac{11}{3}} = \sqrt{\frac{3}{11} × \frac{3}{11}} = \frac{\sqrt{9}}{11} = \frac{3}{11}$，选项B不正确。
选项C:$\frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{3}} = \frac{3 × \sqrt{2} × \sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，选项C正确。
选项D:$\frac{\sqrt{54a^2b}}{\sqrt{6a}} = \sqrt{\frac{54a^2b}{6a}} = \sqrt{9ab} = 3\sqrt{ab}$，选项D不正确。

14. 填空：
(1)$\sqrt{\frac{1}{5}} ÷ \sqrt{\frac{1}{3}} =$；
(2)$\sqrt{\frac{2}{3}} =$；
(3)$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{24}} =$；

(4)$\frac{\sqrt{56}}{2 \sqrt{8}} =$。

(1)$\frac{\sqrt{15}}{5}$；(2)$\frac{\sqrt{6}}{3}$；(3)$\frac{1}{2}$；(4)$\frac{\sqrt{7}}{2}$

(1) $\sqrt{\frac{1}{5}} ÷ \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{5} ÷ \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$；
(2) $\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$；
(3) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{24}} = \sqrt{\frac{6}{24}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$；
(4) $\frac{\sqrt{56}}{2\sqrt{8}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{56}{8}} = \frac{1}{2} \sqrt{7} = \frac{\sqrt{7}}{2}$。

15. 已知一个三角形和一个长方形面积相等，长方形的宽为$2 \sqrt{3}$，长是宽的$2$倍。若三角形的一条底边长为$3 \sqrt{2}$，则三角形这条底边上的高为。

1. 首先求长方形的面积：
已知长方形宽$a = 2\sqrt{3}$，长是宽的$2$倍，则长$b = 2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
根据长方形面积公式$S_{长方形}=长×宽$，可得$S_{长方形}=4\sqrt{3}×2\sqrt{3}=4×2×(\sqrt{3})^2 = 24$。
2. 然后设三角形这条底边上的高为$h$：
已知三角形面积公式$S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高$，底为$3\sqrt{2}$，且$S_{三角形}=S_{长方形}=24$。
则$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}× h = 24$。
求解$h$，先等式两边同时乘以$2$得$3\sqrt{2}h = 48$。
再等式两边同时除以$3\sqrt{2}$，$h=\frac{48}{3\sqrt{2}}=\frac{16}{\sqrt{2}}$。
分母有理化，$h=\frac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}$。
答案为$8\sqrt{2}$。

16. 计算：
(1)$\frac{-\sqrt{56}}{2 \sqrt{14}}$；
(2)$(-\sqrt{1 \frac{2}{3}}) ÷ \sqrt{\frac{5}{54}}$；
(3)$5 \sqrt{0.3} ÷ \frac{1}{3} \sqrt{0.15}$。

(1)
$\begin{aligned} \frac{-\sqrt{56}}{2\sqrt{14}} &= -\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{4×14}} \\ &= -\sqrt{\frac{56}{4×14}} \\ &= -\sqrt{\frac{56}{56}} \\ &= -1 \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} (-\sqrt{1\frac{2}{3}}) ÷ \sqrt{\frac{5}{54}} &= -\sqrt{\frac{5}{3}} ÷ \sqrt{\frac{5}{54}} \\ &= -\sqrt{\frac{5}{3} × \frac{54}{5}} \\ &= -\sqrt{18} \\ &= -3\sqrt{2} \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} 5\sqrt{0.3} ÷ \frac{1}{3}\sqrt{0.15} &= 5\sqrt{0.3} × 3÷\sqrt{0.15} \\ &= 15\sqrt{\frac{0.3}{0.15}} \\ &= 15\sqrt{2} \end{aligned}$