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1. 计算：$\sqrt{9} ÷ \sqrt{16} =\_\_\_\_\_\_\sqrt{9 ÷ 16}$。一般地，二次根式的除法法则是$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\_\_\_\_\_\_(a ≥ 0, b ＞ 0)$。
答案
第一空填 $=$，
第二空填 $\sqrt{\frac{a}{b}}$。
解析
首先计算 $\sqrt{9} ÷ \sqrt{16}$：
$\sqrt{9} = 3$，$\sqrt{16} = 4$，
所以 $\sqrt{9} ÷ \sqrt{16} = \frac{3}{4}$。
再计算 $\sqrt{9 ÷ 16}$：
$9 ÷ 16 = \frac{9}{16}$，
$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$。
因此 $\sqrt{9} ÷ \sqrt{16} = \sqrt{9 ÷ 16}$，
即 $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}}$。
一般地，二次根式的除法法则是：
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$，其中 $a ≥ 0, b ＞ 0$。
2. 把$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\_\_\_\_\_\_(a ≥ 0, b ＞ 0)$反过来，就得到$\sqrt{\frac{a}{b}} =\_\_\_\_\_\_(a ≥ 0, b ＞ 0)$，利用它可以进行二次根式的化简。
答案
$\sqrt{\frac{a}{b}}$；$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
解析
根据二次根式的除法法则，把$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$反过来，就得到$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$
3. 计算：
(1)$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}} =$；
(2)$\sqrt{1 \frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} =$。
(1)$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}} =$；
(2)$\sqrt{1 \frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} =$。
答案
(1) $2\sqrt{2}$；
(2) $3$。
(2) $3$。
解析
(1) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{48}{6}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{1\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2} ÷ \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}×6} = \sqrt{9} = 3$。
(2) $\sqrt{1\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2} ÷ \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}×6} = \sqrt{9} = 3$。
4. 现有一个长方形，面积为$\sqrt{14} \mathrm{~cm}^{2}$，长为$\sqrt{7} \mathrm{~cm}$，求这个长方形的宽。
答案
设长方形的宽为$x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式：面积 = 长×宽，可得：
$\sqrt{7} × x = \sqrt{14}$
解得：
$x = \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\dfrac{14}{7}} = \sqrt{2}$
答：这个长方形的宽为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式：面积 = 长×宽，可得：
$\sqrt{7} × x = \sqrt{14}$
解得：
$x = \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\dfrac{14}{7}} = \sqrt{2}$
答：这个长方形的宽为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
5. 计算：$\sqrt{10} ÷ \sqrt{2} =$【 】
A.$\sqrt{5}$
B.$5$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
A.$\sqrt{5}$
B.$5$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
答案
A
解析
根据二次根式的除法法则，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b ＞ 0$），对于$\sqrt{10}÷\sqrt{2}$，有$\sqrt{10}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}$。
6. 下列运算正确的是【 】
A.$\sqrt{50} ÷ \sqrt{5} = 10$
B.$\sqrt{10} ÷ 2 \sqrt{5} = 2 \sqrt{2}$
C.$\sqrt{16^{2} ÷ 4^{2}} = 16 - 4 = 12$
D.$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = 3$
A.$\sqrt{50} ÷ \sqrt{5} = 10$
B.$\sqrt{10} ÷ 2 \sqrt{5} = 2 \sqrt{2}$
C.$\sqrt{16^{2} ÷ 4^{2}} = 16 - 4 = 12$
D.$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = 3$
答案
D
解析
A选项，根据二次根式的除法法则，有 $\sqrt{50} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{\frac{50}{5}} = \sqrt{10} ≠ 10$，故A选项错误。
B选项，根据二次根式的除法法则，有 $\sqrt{10} ÷ 2\sqrt{5} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ≠ 2\sqrt{2}$，故B选项错误。
C选项，首先计算 $16^2 ÷ 4^2 = 256 ÷ 16 = 16$，然后 $\sqrt{16} = 4 ≠ 12$，且$ \sqrt{16^{2} ÷ 4^{2}} ≠16 - 4$，故C选项错误。
D选项，根据二次根式的除法法则，有 $\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$，故D选项正确。
B选项，根据二次根式的除法法则，有 $\sqrt{10} ÷ 2\sqrt{5} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ≠ 2\sqrt{2}$，故B选项错误。
C选项，首先计算 $16^2 ÷ 4^2 = 256 ÷ 16 = 16$，然后 $\sqrt{16} = 4 ≠ 12$，且$ \sqrt{16^{2} ÷ 4^{2}} ≠16 - 4$，故C选项错误。
D选项，根据二次根式的除法法则，有 $\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$，故D选项正确。
7. 如果一个三角形的面积为$\sqrt{15}$，一边长为$\sqrt{3}$，那么这条边上的高为。
答案
$2\sqrt{5}$（这里按照填空题理解，若原题是其他形式再依据规则调整，根据题目要求这里直接给出答案内容对应的规范填写）
解析
本题可根据三角形的面积公式来求解这条边上的高。
设这条边上的高为$h$，已知三角形面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$表示面积，$a$表示边长，$h$表示这条边上的高）。
已知三角形面积$S = \sqrt{15}$，边长$a = \sqrt{3}$，将其代入面积公式可得$\sqrt{15}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}× h$。
求解$h$，等式两边同时乘以$2$得到$2\sqrt{15}=\sqrt{3}× h$，再等式两边同时除以$\sqrt{3}$，即$h = \frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$，根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）对$\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$进行化简，可得$h = 2\sqrt{\frac{15}{3}} = 2\sqrt{5}$。
设这条边上的高为$h$，已知三角形面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$表示面积，$a$表示边长，$h$表示这条边上的高）。
已知三角形面积$S = \sqrt{15}$，边长$a = \sqrt{3}$，将其代入面积公式可得$\sqrt{15}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}× h$。
求解$h$，等式两边同时乘以$2$得到$2\sqrt{15}=\sqrt{3}× h$，再等式两边同时除以$\sqrt{3}$，即$h = \frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$，根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）对$\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$进行化简，可得$h = 2\sqrt{\frac{15}{3}} = 2\sqrt{5}$。
8. 计算：
(1)$\sqrt{40} ÷ \sqrt{5}$；
(2)$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$；
(3)$\sqrt{\frac{4}{5}} ÷ \sqrt{\frac{2}{15}}$；
(4)$\frac{2 \sqrt{a^{3} b}}{\sqrt{a b}}(a ＞ 0, b ＞ 0)$。
(1)$\sqrt{40} ÷ \sqrt{5}$；
(2)$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$；
(3)$\sqrt{\frac{4}{5}} ÷ \sqrt{\frac{2}{15}}$；
(4)$\frac{2 \sqrt{a^{3} b}}{\sqrt{a b}}(a ＞ 0, b ＞ 0)$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&\sqrt{40} ÷ \sqrt{5} \\=&\sqrt{\frac{40}{5}} \\=&\sqrt{8} \\=&2\sqrt{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} \\=&\sqrt{\frac{32}{2}} \\=&\sqrt{16} \\=&4\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\sqrt{\frac{4}{5}} ÷ \sqrt{\frac{2}{15}} \\=&\sqrt{\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{15}} \\=&\sqrt{\frac{4}{5} × \frac{15}{2}} \\=&\sqrt{6}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&\frac{2\sqrt{a^{3}b}}{\sqrt{ab}} \\=&2\sqrt{\frac{a^{3}b}{ab}} \\=&2\sqrt{a^{2}} \\=&2a\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\sqrt{40} ÷ \sqrt{5} \\=&\sqrt{\frac{40}{5}} \\=&\sqrt{8} \\=&2\sqrt{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} \\=&\sqrt{\frac{32}{2}} \\=&\sqrt{16} \\=&4\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\sqrt{\frac{4}{5}} ÷ \sqrt{\frac{2}{15}} \\=&\sqrt{\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{15}} \\=&\sqrt{\frac{4}{5} × \frac{15}{2}} \\=&\sqrt{6}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&\frac{2\sqrt{a^{3}b}}{\sqrt{ab}} \\=&2\sqrt{\frac{a^{3}b}{ab}} \\=&2\sqrt{a^{2}} \\=&2a\end{aligned}$
