14. ($★★$)化简$\sqrt{(-2)^2 × 8 × 3}$的结果是 【 】

A.$2\sqrt{24}$
B.$4\sqrt{6}$
C.$-2\sqrt{24}$
D.$-4\sqrt{6}$

B

首先计算$(-2)^2 = 4$，原式化为$\sqrt{4 × 8 × 3}$。
再计算$4 × 8 × 3 = 96$，即$\sqrt{96}$。
将96分解质因数：$96 = 16 × 6$，其中16为平方数。
根据根号简化规则$\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}$，有$\sqrt{96} = \sqrt{16 × 6} = \sqrt{16} × \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$。
故答案为B。

15. ($★★$)已知$m = (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21})$，则 【 】

A.$5 ＜ m ＜ 6$
B.$4 ＜ m ＜ 5$
C.$-5 ＜ m ＜ -4$
D.$-6 ＜ m ＜ -5$

A

首先计算 $m$ 的值：
$m = (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{21} = \dfrac{2\sqrt{63}}{3} = \dfrac{2 × 3\sqrt{7}}{3} = 2\sqrt{7}$
然后估算 $2\sqrt{7}$ 的范围：
$\sqrt{7} \approx 2.6458$，故 $2\sqrt{7} \approx 5.2916$，满足 $5 ＜ 5.2916 ＜ 6$。

16. ($★★$)比较大小：$-2\sqrt{7}$(填“＞”“＜”或“=”)$-4\sqrt{2}$。

＞

将$-2\sqrt{7}$化为$-\sqrt{28}$，$-4\sqrt{2}$化为$-\sqrt{32}$。因为$\sqrt{28} ＜ \sqrt{32}$，所以$-\sqrt{28} ＞ -\sqrt{32}$，即$-2\sqrt{7} ＞ -4\sqrt{2}$。

17. ($★★$)若一个长方体的长为$2\sqrt{6} \mathrm{ cm}$，宽为$\sqrt{3} \mathrm{ cm}$，高为$\sqrt{2} \mathrm{ cm}$，则它的体积为$\mathrm{cm}^3$。

$12$

长方体的体积公式为$V = \mathrm{长} × \mathrm{宽} × \mathrm{高}$，
将题目中给出的长、宽、高代入公式，得：
$V = 2\sqrt{6} × \sqrt{3} × \sqrt{2}$
根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$（其中$a \ge 0$，$b \ge 0$）得：
$V = 2\sqrt{6 × 3 × 2}$
$V = 2\sqrt{36}$
$V = 2 × 6$
$V = 12 \mathrm{ cm}^3$

18. ($★★$)交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是$v = 16\sqrt{df}$，其中$v$（单位：$\mathrm{km/h}$）表示车速，$d$（单位：$\mathrm{m}$）表示刹车后车轮滑过的距离，$f$表示摩擦因数。在某次测试中，测得$d = 20$，$f = 1.2$，则该汽车的车速大约是多少？（结果精确到$0.1 \mathrm{ km/h}$。参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{6} \approx 2.449$）

$v = 16\sqrt{df}$，将$d = 20$，$f = 1.2$代入公式，得：
$v = 16\sqrt{20×1.2} = 16\sqrt{24} = 16×2\sqrt{6} = 32\sqrt{6}$
因为$\sqrt{6} \approx 2.449$，所以$v \approx 32×2.449 = 78.368 \approx 78.4$（km/h）
答：该汽车的车速大约是$78.4$km/h。

19. ($★★★$)化简$\sqrt{-a^3}$的结果是 【 】

A.$a\sqrt{-a}$
B.$a\sqrt{a}$
C.$-a\sqrt{-a}$
D.$-a\sqrt{a}$

C

首先，根据二次根式的性质，被开方数必须非负，因此 $-a^3 ≥ 0$，即 $a^3 ≤ 0$，所以 $a ≤ 0$。
将 $\sqrt{-a^3}$ 化简为 $\sqrt{a^2 · (-a)} = \sqrt{a^2} · \sqrt{-a}$。
由于 $a ≤ 0$，所以 $\sqrt{a^2} = -a$，因此原式化简为 $-a\sqrt{-a}$。

20. ($★★★$)按规律排列的二次根式：$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$，$\sqrt{12}$，$\sqrt{20}$，$···$
(1)根据你发现的规律，猜想第$n$个式子是什么；
(2)当$n = 8$时，求它与前面$7$个二次根式的积。

(1)$\sqrt{n(n+1)}$；(2)120960

(1) 观察根号内的数：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，…，规律为第n个数是n(n+1)，故第n个式子是$\sqrt{n(n+1)}$。
(2) 当n=8时，第8个式子为$\sqrt{8×9}=\sqrt{72}$。前面7个式子分别为$\sqrt{1×2},\sqrt{2×3},\sqrt{3×4},···,\sqrt{7×8}$。它们的积为：
$\begin{aligned}&\sqrt{1×2}×\sqrt{2×3}×\sqrt{3×4}×···×\sqrt{8×9}\\=&\sqrt{(1×2)(2×3)(3×4)···(8×9)}\\=&\sqrt{1×2^2×3^2×···×8^2×9}\\=&\sqrt{9×(2×3×···×8)^2}\\=&3×(2×3×···×8)\\=&3×40320\\=&120960\end{aligned}$