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9. ($★$)化简$\sqrt{40}$的结果是 【 】
A.$10$
B.$2\sqrt{10}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$20$
A.$10$
B.$2\sqrt{10}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$20$
答案
B
解析
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
10. ($★$)下列各式正确的是 【 】
A.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$
B.$\sqrt{16 + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{16} × \sqrt{\dfrac{9}{4}}$
C.$\sqrt{4\dfrac{4}{9}} = \sqrt{4} × \sqrt{\dfrac{4}{9}}$
D.$\sqrt{4 × 9} = \sqrt{4} × \sqrt{9}$
A.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$
B.$\sqrt{16 + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{16} × \sqrt{\dfrac{9}{4}}$
C.$\sqrt{4\dfrac{4}{9}} = \sqrt{4} × \sqrt{\dfrac{4}{9}}$
D.$\sqrt{4 × 9} = \sqrt{4} × \sqrt{9}$
答案
D
解析
A. $\sqrt{(-4) × (-9)}$ 中的负数没有实数平方根，因此 $\sqrt{-4} × \sqrt{-9}$ 无意义，故 A 错误。
B. $\sqrt{16 + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{64}{4} + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{73}{4}}$，而 $\sqrt{16} × \sqrt{\dfrac{9}{4}} = 4 × \dfrac{3}{2} = 6$，显然 $\sqrt{\dfrac{73}{4}} ≠ 6$，故 B 错误。
C. $\sqrt{4\dfrac{4}{9}} = \sqrt{\dfrac{40}{9}}$，而 $\sqrt{4} × \sqrt{\dfrac{4}{9}} = 2 × \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$，显然 $\sqrt{\dfrac{40}{9}} ≠ \dfrac{4}{3}$，故 C 错误。
D. $\sqrt{4 × 9} = \sqrt{36} = 6$，而 $\sqrt{4} × \sqrt{9} = 2 × 3 = 6$，等式成立，故 D 正确。
B. $\sqrt{16 + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{64}{4} + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{73}{4}}$，而 $\sqrt{16} × \sqrt{\dfrac{9}{4}} = 4 × \dfrac{3}{2} = 6$，显然 $\sqrt{\dfrac{73}{4}} ≠ 6$，故 B 错误。
C. $\sqrt{4\dfrac{4}{9}} = \sqrt{\dfrac{40}{9}}$，而 $\sqrt{4} × \sqrt{\dfrac{4}{9}} = 2 × \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$，显然 $\sqrt{\dfrac{40}{9}} ≠ \dfrac{4}{3}$，故 C 错误。
D. $\sqrt{4 × 9} = \sqrt{36} = 6$，而 $\sqrt{4} × \sqrt{9} = 2 × 3 = 6$，等式成立，故 D 正确。
11. ($★$)化简：
(1)$\sqrt{50}$；
(2)$\sqrt{162} × \dfrac{1}{36}$；
(3)$\sqrt{2\dfrac{1}{4} × \dfrac{16}{81}}$；
(4)$\sqrt{(-25) × (-36)}$；
(5)$\sqrt{9x^2y^5z}$。
(1)$\sqrt{50}$；
(2)$\sqrt{162} × \dfrac{1}{36}$；
(3)$\sqrt{2\dfrac{1}{4} × \dfrac{16}{81}}$；
(4)$\sqrt{(-25) × (-36)}$；
(5)$\sqrt{9x^2y^5z}$。
答案
(1) $\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=\sqrt{25}×\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{162}×\frac{1}{36}=\sqrt{81×2}×\frac{1}{36}=9\sqrt{2}×\frac{1}{36}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
(3) $\sqrt{2\frac{1}{4}×\frac{16}{81}}=\sqrt{\frac{9}{4}×\frac{16}{81}}=\sqrt{\frac{9}{4}}×\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{3}{2}×\frac{4}{9}=\frac{2}{3}$
(4) $\sqrt{(-25)×(-36)}=\sqrt{25×36}=\sqrt{25}×\sqrt{36}=5×6=30$
(5) $\sqrt{9x^2y^5z}=\sqrt{9}×\sqrt{x^2}×\sqrt{y^4}×\sqrt{yz}=3|x|y^2\sqrt{yz}$
(2) $\sqrt{162}×\frac{1}{36}=\sqrt{81×2}×\frac{1}{36}=9\sqrt{2}×\frac{1}{36}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
(3) $\sqrt{2\frac{1}{4}×\frac{16}{81}}=\sqrt{\frac{9}{4}×\frac{16}{81}}=\sqrt{\frac{9}{4}}×\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{3}{2}×\frac{4}{9}=\frac{2}{3}$
(4) $\sqrt{(-25)×(-36)}=\sqrt{25×36}=\sqrt{25}×\sqrt{36}=5×6=30$
(5) $\sqrt{9x^2y^5z}=\sqrt{9}×\sqrt{x^2}×\sqrt{y^4}×\sqrt{yz}=3|x|y^2\sqrt{yz}$
12. ($★★$)二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用。如图，要将某个长方形的零部件转化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是$\sqrt{140π} \mathrm{ cm}$，宽是$\sqrt{35π} \mathrm{ cm}$，那么圆的半径应该是 【 】
A.$2\sqrt{35} \mathrm{ cm}$
B.$2\sqrt{70} \mathrm{ cm}$
C.$\sqrt{35} \mathrm{ cm}$
D.$\sqrt{70} \mathrm{ cm}$
A.$2\sqrt{35} \mathrm{ cm}$
B.$2\sqrt{70} \mathrm{ cm}$
C.$\sqrt{35} \mathrm{ cm}$
D.$\sqrt{70} \mathrm{ cm}$
答案
D
解析
长方形的面积为：
$\sqrt{140π} × \sqrt{35π} = \sqrt{140π × 35π} = \sqrt{4900π^2} = 70π$。
设圆的半径为 $r$，则圆的面积为 $π r^2$。
由题意，长方形和圆的面积相等，因此：
$π r^2 = 70π$。
消去 $π$，得到：
$r^2 = 70$。
取正根，得到：
$r = \sqrt{70} \mathrm{ cm}$。
$\sqrt{140π} × \sqrt{35π} = \sqrt{140π × 35π} = \sqrt{4900π^2} = 70π$。
设圆的半径为 $r$，则圆的面积为 $π r^2$。
由题意，长方形和圆的面积相等，因此：
$π r^2 = 70π$。
消去 $π$，得到：
$r^2 = 70$。
取正根，得到：
$r = \sqrt{70} \mathrm{ cm}$。
13. ($★★$)计算：
(1)$6\sqrt{8} × (-3\sqrt{2})$；
(2)$\dfrac{4}{3}\sqrt{24} × \dfrac{2}{3}\sqrt{6}$；
(3)$\sqrt{30} × 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} × \sqrt{10}$；
(4)$\sqrt{(-4) × \dfrac{25}{9} × (-169)}$。
(1)$6\sqrt{8} × (-3\sqrt{2})$；
(2)$\dfrac{4}{3}\sqrt{24} × \dfrac{2}{3}\sqrt{6}$；
(3)$\sqrt{30} × 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} × \sqrt{10}$；
(4)$\sqrt{(-4) × \dfrac{25}{9} × (-169)}$。
答案
(1)原式$=6×(-3)×\sqrt{8×2}=-18×\sqrt{16}=-18×4=-72$
(2)原式$=\frac{4}{3}×\frac{2}{3}×\sqrt{24×6}=\frac{8}{9}×\sqrt{144}=\frac{8}{9}×12=\frac{32}{3}$
(3)原式$=2×\sqrt{30×\frac{1}{3}×10}=2×\sqrt{100}=2×10=20$
(4)原式$=\sqrt{4×\frac{25}{9}×169}=\sqrt{4}×\sqrt{\frac{25}{9}}×\sqrt{169}=2×\frac{5}{3}×13=\frac{130}{3}$
(2)原式$=\frac{4}{3}×\frac{2}{3}×\sqrt{24×6}=\frac{8}{9}×\sqrt{144}=\frac{8}{9}×12=\frac{32}{3}$
(3)原式$=2×\sqrt{30×\frac{1}{3}×10}=2×\sqrt{100}=2×10=20$
(4)原式$=\sqrt{4×\frac{25}{9}×169}=\sqrt{4}×\sqrt{\frac{25}{9}}×\sqrt{169}=2×\frac{5}{3}×13=\frac{130}{3}$
