1. (★★)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ B = 30^{\circ}$，连接 $AC$，$∠ ACB = ∠ CAD = 90^{\circ}$，$AE$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，且 $BE = CD$。求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形。

证明：
∵∠ACB=90°，∠CAD=90°，
∴AC⊥BC，AC⊥AD，
∴AD//BC（垂直于同一直线的两直线平行），即AD//EC。
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，AC=1/2AB（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC=30°。
在Rt△AEC中，∠EAC=30°，∠ACE=90°，
∴EC=1/2AE（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
设EC=y，则AE=2y，
由勾股定理得AC=√(AE²-EC²)=√(4y²-y²)=√3 y。
在Rt△ABC中，AC=√3 y，∠B=30°，
∴AB=2AC=2√3 y，
由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√[(2√3 y)²-(√3 y)²]=3y，
∴BE=BC-EC=3y-y=2y。
∵BE=CD，∴CD=2y。
在Rt△ACD中，∠CAD=90°，AC=√3 y，CD=2y，
由勾股定理得AD=√(CD²-AC²)=√[(2y)²-(√3 y)²]=y，
∴AD=EC=y。
∵AD//EC且AD=EC，
∴四边形AECD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

2. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，分别以 $AD$，$BC$ 为边向内作等边 $△ ADE$ 和等边 $△ BCF$，连接 $BE$，$DF$。求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形。

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠DAB=∠BCD。
∵△ADE和△BCF是等边三角形，
∴AE=AD=DE，CF=BC=BF，∠DAE=∠BCF=60°。
∴DE=BF（等量代换）。
∵∠BAE=∠DAB-∠DAE，∠DCF=∠BCD-∠BCF，且∠DAB=∠BCD，∠DAE=∠BCF=60°，
∴∠BAE=∠DCF。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} AB=CD \\ ∠BAE=∠DCF \\ AE=CF \end{cases}$，
∴△ABE≌△CDF（SAS）。
∴BE=DF。
∵DE=BF且BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。

3. (★★)如图，点 $A$，$D$，$C$，$B$ 在同一条直线上，$AC = BD$，$AE = BF$，$AE // BF$。
求证：(1) $△ ADE ≌ △ BCF$；
(2) 四边形 $DECF$ 是平行四边形。

(1) ∵AE//BF，∴∠A=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∵AC=BD，∴AC-DC=BD-DC，即AD=BC。
在△ADE和△BCF中，
$\{\begin{array}{l} AE=BF\\ ∠A=∠B\\ AD=BC\end{array} $
∴△ADE≌△BCF（SAS）。
(2) ∵△ADE≌△BCF，∴DE=CF，∠ADE=∠BCF。
∵点A，D，C，B在同一直线上，∴∠ADE+∠EDC=180°，∠BCF+∠FCD=180°。
∵∠ADE=∠BCF，∴∠EDC=∠FCD（等角的补角相等），∴DE//CF。
∵DE=CF且DE//CF，∴四边形DECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。