4. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $M$，$N$ 分别在边 $AB$，$CD$ 上，$BD$，$MN$ 相交于点 $O$，且 $OB = OD$，连接 $DM$，$BN$。求证：四边形 $BMDN$ 是平行四边形。

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO。
在△BOM和△DON中，
∠ABO=∠CDO（已证），
OB=OD（已知），
∠BOM=∠DON（对顶角相等），
∴△BOM≌△DON（ASA），
∴OM=ON。
又∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

5. (★★)如图,在四边形ABCD中,E,F, G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点.请判断四边形EGFH的形状,并说明理由.

四边形EGFH是平行四边形。
理由：
∵E是AD中点，G是BD中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG//AB，EG=1/2AB。
∵H是AC中点，F是BC中点，
∴HF是△ABC的中位线，
∴HF//AB，HF=1/2AB。
∴EG//HF，EG=HF。
∴四边形EGFH是平行四边形。

6. (★★)如图,等边三角形ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使$ CF=\frac{1}{2}BC $,连接CD,EF.
(1)请判断四边形CDEF的形状,并说明理由；
(2)求EF的长.

(1) 四边形CDEF是平行四边形。
理由：
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}BC$。
∵ CF = $\frac{1}{2}BC$，
∴ DE = CF。
又∵ DE//BC，点F在BC延长线上，
∴ DE//CF。
∴ 四边形CDEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) EF的长为$2\sqrt{3}$。
∵ △ABC是等边三角形，边长为4，D为AB中点，
∴ AD = DB = 2，CD是AB边上的中线（也是高）。
在Rt△CDB中，BC = 4，DB = 2，
由勾股定理得：$CD = \sqrt{BC^2 - DB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
∵ 四边形CDEF是平行四边形，
∴ EF = CD = $2\sqrt{3}$。