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1. 化简$-2ab^{2}(a^{2}b - a^{3}b^{3})$的结果是(
A.$2a^{3}b^{3} + 2a^{4}b^{5}$
B.$-2a^{3}b^{3} + 2a^{3}b^{5}$
C.$-2a^{2}b^{3} + 2a^{4}b^{5}$
D.$-2a^{3}b^{3} + 2a^{4}b^{5}$
D
)A.$2a^{3}b^{3} + 2a^{4}b^{5}$
B.$-2a^{3}b^{3} + 2a^{3}b^{5}$
C.$-2a^{2}b^{3} + 2a^{4}b^{5}$
D.$-2a^{3}b^{3} + 2a^{4}b^{5}$
答案
1. D
解析
【分析】
这道题是单项式乘多项式的化简题，解题思路是运用乘法分配律，将单项式$-2ab^2$分别与多项式$a^2b - a^3b^3$的每一项相乘，再根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算每一项的结果，同时注意符号的变化，最后对比选项得出答案。具体步骤：第一步，用单项式乘多项式的每一项；第二步，计算同底数幂的乘积；第三步，整理结果并匹配选项。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则，利用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}-2ab^{2}(a^{2}b - a^{3}b^{3})&=-2ab^{2}· a^{2}b + (-2ab^{2})·(-a^{3}b^{3})\\&=-2×(a· a^{2})×(b^{2}· b) + 2×(a· a^{3})×(b^{2}· b^{3})\\&=-2a^{1+2}b^{2+1} + 2a^{1+3}b^{2+3}\\&=-2a^{3}b^{3} + 2a^{4}b^{5}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查整式的乘法运算，重点在于掌握单项式乘多项式的分配律以及同底数幂的乘法法则，解题时需注意符号的运算和指数的正确相加，避免因符号错误或指数计算失误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
这道题是单项式乘多项式的化简题，解题思路是运用乘法分配律，将单项式$-2ab^2$分别与多项式$a^2b - a^3b^3$的每一项相乘，再根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算每一项的结果，同时注意符号的变化，最后对比选项得出答案。具体步骤：第一步，用单项式乘多项式的每一项；第二步，计算同底数幂的乘积；第三步，整理结果并匹配选项。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则，利用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}-2ab^{2}(a^{2}b - a^{3}b^{3})&=-2ab^{2}· a^{2}b + (-2ab^{2})·(-a^{3}b^{3})\\&=-2×(a· a^{2})×(b^{2}· b) + 2×(a· a^{3})×(b^{2}· b^{3})\\&=-2a^{1+2}b^{2+1} + 2a^{1+3}b^{2+3}\\&=-2a^{3}b^{3} + 2a^{4}b^{5}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查整式的乘法运算，重点在于掌握单项式乘多项式的分配律以及同底数幂的乘法法则，解题时需注意符号的运算和指数的正确相加，避免因符号错误或指数计算失误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
2. 计算$a(b - c) + b(c - a) - c(b - a)$得(
A.0
B.$2ac$
C.$2ab$
D.$2bc$
A
)A.0
B.$2ac$
C.$2ab$
D.$2bc$
答案
2. A
解析
【分析】
这道题属于整式的加减运算题，解题核心思路是先运用去括号法则去掉式子中的所有括号，再识别出同类项，最后通过合并同类项化简式子得到结果。首先要牢记去括号法则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号要改变。接着按步骤逐步处理每个括号，再将同类项分别合并即可得出最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}&a(b - c) + b(c - a) - c(b - a)\\=&ab - ac + bc - ab - bc + ac\\=&(ab - ab)+(-ac + ac)+(bc - bc)\\=&0+0+0\\=&0\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查对去括号法则和合并同类项法则的掌握程度。运算过程中需格外注意符号变化，这是容易出错的地方，只要熟练掌握法则，仔细计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
这道题属于整式的加减运算题，解题核心思路是先运用去括号法则去掉式子中的所有括号，再识别出同类项，最后通过合并同类项化简式子得到结果。首先要牢记去括号法则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号要改变。接着按步骤逐步处理每个括号，再将同类项分别合并即可得出最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}&a(b - c) + b(c - a) - c(b - a)\\=&ab - ac + bc - ab - bc + ac\\=&(ab - ab)+(-ac + ac)+(bc - bc)\\=&0+0+0\\=&0\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查对去括号法则和合并同类项法则的掌握程度。运算过程中需格外注意符号变化，这是容易出错的地方，只要熟练掌握法则，仔细计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 计算：
(1) $(\frac{2}{3}ab^{2} - 2a^{2}b) · \frac{1}{2}ab =$
(2) $(-3x^{2})(x^{2} + 2x - 1) =$
(3) $-(2x - 4x^{3} - 8) · (-\frac{1}{2}x^{2}) =$
(4) $2(a^{2}b^{2} - ab + 1) + 3ab(1 - ab) =$
(1) $(\frac{2}{3}ab^{2} - 2a^{2}b) · \frac{1}{2}ab =$
$\frac{1}{3}a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}$
；(2) $(-3x^{2})(x^{2} + 2x - 1) =$
$-3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}$
；(3) $-(2x - 4x^{3} - 8) · (-\frac{1}{2}x^{2}) =$
$x^{3}-2x^{5}-4x^{2}$
；(4) $2(a^{2}b^{2} - ab + 1) + 3ab(1 - ab) =$
$ab - a^{2}b^{2}+2$
。答案
3. (1) $\frac{1}{3}a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}$
(2) $-3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}$
(3) $x^{3}-2x^{5}-4x^{2}$
(4) $ab - a^{2}b^{2}+2$
(2) $-3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}$
(3) $x^{3}-2x^{5}-4x^{2}$
(4) $ab - a^{2}b^{2}+2$
解析
【分析】
这四道题均为整式的乘法及混合运算问题，解题核心是运用乘法分配律及整式运算规则：
1. 对于单项式乘多项式的题目，需用单项式依次乘多项式的每一项，再将所得的积相加，同时注意同底数幂相乘时指数相加的法则；
2. 含混合运算的题目，先根据乘法分配律去括号，再识别并合并同类项；
3. 计算过程中要特别注意符号的处理，避免符号错误。
【解析】
(1) 运用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(\frac{2}{3}ab^{2} - 2a^{2}b) · \frac{1}{2}ab&=\frac{2}{3}ab^2·\frac{1}{2}ab + (-2a^2b)·\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{3}a^{1+1}b^{2+1} - a^{2+1}b^{1+1}\\&=\frac{1}{3}a^2b^3 - a^3b^2\end{aligned}$
(2) 用单项式乘多项式的每一项，注意符号：
$\begin{aligned}(-3x^{2})(x^{2} + 2x - 1)&=(-3x^2)·x^2 + (-3x^2)·2x + (-3x^2)·(-1)\\&=-3x^{2+2} -6x^{2+1} +3x^2\\&=-3x^4 -6x^3 +3x^2\end{aligned}$
(3) 先处理符号，再展开计算：
$\begin{aligned}-(2x - 4x^{3} - 8) · (-\frac{1}{2}x^{2})&=(2x -4x^3 -8)·\frac{1}{2}x^2\\&=2x·\frac{1}{2}x^2 -4x^3·\frac{1}{2}x^2 -8·\frac{1}{2}x^2\\&=x^{1+2} -2x^{3+2} -4x^2\\&=x^3 -2x^5 -4x^2\end{aligned}$
(4) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}2(a^{2}b^{2} - ab + 1) + 3ab(1 - ab)&=2a^2b^2 -2ab +2 +3ab -3a^2b^2\\&=(2a^2b^2 -3a^2b^2)+(-2ab +3ab)+2\\&=-a^2b^2 +ab +2\\&=ab -a^2b^2 +2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{3}a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}$；
(2) $-3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}$；
(3) $x^{3}-2x^{5}-4x^{2}$；
(4) $ab - a^{2}b^{2}+2$
【知识点】
单项式乘多项式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题重点考查整式运算的基础规则，需要熟练掌握乘法分配律的应用、同底数幂的乘法法则及同类项的合并方法。计算过程中需留意符号变化和指数运算细节，是巩固整式运算基础的典型题目。
【难度系数】
0.6
这四道题均为整式的乘法及混合运算问题，解题核心是运用乘法分配律及整式运算规则：
1. 对于单项式乘多项式的题目，需用单项式依次乘多项式的每一项，再将所得的积相加，同时注意同底数幂相乘时指数相加的法则；
2. 含混合运算的题目，先根据乘法分配律去括号，再识别并合并同类项；
3. 计算过程中要特别注意符号的处理，避免符号错误。
【解析】
(1) 运用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(\frac{2}{3}ab^{2} - 2a^{2}b) · \frac{1}{2}ab&=\frac{2}{3}ab^2·\frac{1}{2}ab + (-2a^2b)·\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{3}a^{1+1}b^{2+1} - a^{2+1}b^{1+1}\\&=\frac{1}{3}a^2b^3 - a^3b^2\end{aligned}$
(2) 用单项式乘多项式的每一项，注意符号：
$\begin{aligned}(-3x^{2})(x^{2} + 2x - 1)&=(-3x^2)·x^2 + (-3x^2)·2x + (-3x^2)·(-1)\\&=-3x^{2+2} -6x^{2+1} +3x^2\\&=-3x^4 -6x^3 +3x^2\end{aligned}$
(3) 先处理符号，再展开计算：
$\begin{aligned}-(2x - 4x^{3} - 8) · (-\frac{1}{2}x^{2})&=(2x -4x^3 -8)·\frac{1}{2}x^2\\&=2x·\frac{1}{2}x^2 -4x^3·\frac{1}{2}x^2 -8·\frac{1}{2}x^2\\&=x^{1+2} -2x^{3+2} -4x^2\\&=x^3 -2x^5 -4x^2\end{aligned}$
(4) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}2(a^{2}b^{2} - ab + 1) + 3ab(1 - ab)&=2a^2b^2 -2ab +2 +3ab -3a^2b^2\\&=(2a^2b^2 -3a^2b^2)+(-2ab +3ab)+2\\&=-a^2b^2 +ab +2\\&=ab -a^2b^2 +2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{3}a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}$；
(2) $-3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}$；
(3) $x^{3}-2x^{5}-4x^{2}$；
(4) $ab - a^{2}b^{2}+2$
【知识点】
单项式乘多项式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题重点考查整式运算的基础规则，需要熟练掌握乘法分配律的应用、同底数幂的乘法法则及同类项的合并方法。计算过程中需留意符号变化和指数运算细节，是巩固整式运算基础的典型题目。
【难度系数】
0.6
4. 计算：
(1) $3a(5a - 2b)$；
(2) $2x(x - 3y) · (-3xy)$；
(3) $(-\frac{1}{2}ab)^{2} · (\frac{2}{5}a^{2} - 4ab - \frac{4}{3}b^{2})$；
(4) $(-\frac{1}{2}m^{2}n - \frac{1}{3}mn + 1) · (-\frac{1}{4}m^{3}n)$。
(1) $3a(5a - 2b)$；
(2) $2x(x - 3y) · (-3xy)$；
(3) $(-\frac{1}{2}ab)^{2} · (\frac{2}{5}a^{2} - 4ab - \frac{4}{3}b^{2})$；
(4) $(-\frac{1}{2}m^{2}n - \frac{1}{3}mn + 1) · (-\frac{1}{4}m^{3}n)$。
答案
4. (1) $15a^{2}-6ab$ (2) $-6x^{3}y + 18x^{2}y^{2}$
(3) $\frac{1}{10}a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{2}b^{4}$
(4) $\frac{1}{8}m^{5}n^{2}+\frac{1}{12}m^{4}n^{2}-\frac{1}{4}m^{3}n$
(3) $\frac{1}{10}a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{2}b^{4}$
(4) $\frac{1}{8}m^{5}n^{2}+\frac{1}{12}m^{4}n^{2}-\frac{1}{4}m^{3}n$
解析
【分析】
这几道题均为整式的乘法运算，解题核心是运用乘法分配律及整式乘法法则：
1. 对于单项式乘多项式，需用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得积相加；
2. 若存在单项式乘单项式，需遵循“系数相乘，同底数幂相乘（底数不变，指数相加）”的规则；
3. 有乘方运算时，先根据积的乘方法则计算乘方，再进行乘法运算；
4. 运算过程中要注意符号变化，负负得正、正负得负，避免符号错误。
【解析】
(1) $3a(5a - 2b)$
$\begin{aligned}&= 3a·5a + 3a·(-2b) \\&= 15a^2 - 6ab\end{aligned}$
(2) $2x(x - 3y) · (-3xy)$
先计算$2x(x - 3y)$：
$\begin{aligned}2x(x - 3y)&=2x· x - 2x·3y \\&=2x^2 - 6xy\end{aligned}$
再乘以$(-3xy)$：
$\begin{aligned}(2x^2 - 6xy)·(-3xy)&=2x^2·(-3xy) + (-6xy)·(-3xy) \\&=-6x^3y + 18x^2y^2\end{aligned}$
(3) $(-\frac{1}{2}ab)^{2} · (\frac{2}{5}a^{2} - 4ab - \frac{4}{3}b^{2})$
先计算乘方：
$(-\frac{1}{2}ab)^2=(-\frac{1}{2})^2a^2b^2=\frac{1}{4}a^2b^2$
再运用乘法分配律：
$\begin{aligned}&\frac{1}{4}a^2b^2·\frac{2}{5}a^2 + \frac{1}{4}a^2b^2·(-4ab) + \frac{1}{4}a^2b^2·(-\frac{4}{3}b^2) \\&=\frac{1}{10}a^4b^2 - a^3b^3 - \frac{1}{3}a^2b^4\end{aligned}$
(4) $(-\frac{1}{2}m^{2}n - \frac{1}{3}mn + 1) · (-\frac{1}{4}m^{3}n)$
运用乘法分配律：
$\begin{aligned}&=(-\frac{1}{2}m^2n)·(-\frac{1}{4}m^3n) + (-\frac{1}{3}mn)·(-\frac{1}{4}m^3n) + 1·(-\frac{1}{4}m^3n) \\&=\frac{1}{8}m^5n^2 + \frac{1}{12}m^4n^2 - \frac{1}{4}m^3n\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{15a^{2}-6ab}$；(2) $\boldsymbol{-6x^{3}y + 18x^{2}y^{2}}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{10}a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{2}b^{4}}$；
(4) $\boldsymbol{\frac{1}{8}m^{5}n^{2}+\frac{1}{12}m^{4}n^{2}-\frac{1}{4}m^{3}n}$
【知识点】
单项式乘多项式，单项式乘单项式，积的乘方
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算，重点在于熟练运用乘法分配律及幂的运算规则，运算时需注意先算乘方再算乘法的顺序，同时要仔细处理符号，避免因符号失误导致结果错误，是巩固整式乘法法则的典型题目。
【难度系数】
0.6
这几道题均为整式的乘法运算，解题核心是运用乘法分配律及整式乘法法则：
1. 对于单项式乘多项式，需用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得积相加；
2. 若存在单项式乘单项式，需遵循“系数相乘，同底数幂相乘（底数不变，指数相加）”的规则；
3. 有乘方运算时，先根据积的乘方法则计算乘方，再进行乘法运算；
4. 运算过程中要注意符号变化，负负得正、正负得负，避免符号错误。
【解析】
(1) $3a(5a - 2b)$
$\begin{aligned}&= 3a·5a + 3a·(-2b) \\&= 15a^2 - 6ab\end{aligned}$
(2) $2x(x - 3y) · (-3xy)$
先计算$2x(x - 3y)$：
$\begin{aligned}2x(x - 3y)&=2x· x - 2x·3y \\&=2x^2 - 6xy\end{aligned}$
再乘以$(-3xy)$：
$\begin{aligned}(2x^2 - 6xy)·(-3xy)&=2x^2·(-3xy) + (-6xy)·(-3xy) \\&=-6x^3y + 18x^2y^2\end{aligned}$
(3) $(-\frac{1}{2}ab)^{2} · (\frac{2}{5}a^{2} - 4ab - \frac{4}{3}b^{2})$
先计算乘方：
$(-\frac{1}{2}ab)^2=(-\frac{1}{2})^2a^2b^2=\frac{1}{4}a^2b^2$
再运用乘法分配律：
$\begin{aligned}&\frac{1}{4}a^2b^2·\frac{2}{5}a^2 + \frac{1}{4}a^2b^2·(-4ab) + \frac{1}{4}a^2b^2·(-\frac{4}{3}b^2) \\&=\frac{1}{10}a^4b^2 - a^3b^3 - \frac{1}{3}a^2b^4\end{aligned}$
(4) $(-\frac{1}{2}m^{2}n - \frac{1}{3}mn + 1) · (-\frac{1}{4}m^{3}n)$
运用乘法分配律：
$\begin{aligned}&=(-\frac{1}{2}m^2n)·(-\frac{1}{4}m^3n) + (-\frac{1}{3}mn)·(-\frac{1}{4}m^3n) + 1·(-\frac{1}{4}m^3n) \\&=\frac{1}{8}m^5n^2 + \frac{1}{12}m^4n^2 - \frac{1}{4}m^3n\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{15a^{2}-6ab}$；(2) $\boldsymbol{-6x^{3}y + 18x^{2}y^{2}}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{10}a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{2}b^{4}}$；
(4) $\boldsymbol{\frac{1}{8}m^{5}n^{2}+\frac{1}{12}m^{4}n^{2}-\frac{1}{4}m^{3}n}$
【知识点】
单项式乘多项式，单项式乘单项式，积的乘方
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算，重点在于熟练运用乘法分配律及幂的运算规则，运算时需注意先算乘方再算乘法的顺序，同时要仔细处理符号，避免因符号失误导致结果错误，是巩固整式乘法法则的典型题目。
【难度系数】
0.6
5. 化简求值：
$x^{2}(x - 1) - (x^{2} + x - 1)$，其中$x = \frac{1}{2}$。
$x^{2}(x - 1) - (x^{2} + x - 1)$，其中$x = \frac{1}{2}$。
答案
5. 解:原式$=x^{3}-x^{2}-x^{2}-x + 1$
$=x^{3}-2x^{2}-x + 1$
把$x=\frac{1}{2}$代入上式得
$(\frac{1}{2})^{3}-2×(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{8}$
$=x^{3}-2x^{2}-x + 1$
把$x=\frac{1}{2}$代入上式得
$(\frac{1}{2})^{3}-2×(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{8}$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：首先根据去括号法则去掉式子中的括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；接着合并同类项，将相同次数的同类项合并，得到最简整式；最后把给定的x的值代入化简后的式子，按照有理数的运算规则计算出结果。
【解析】
解：原式$=x^{3}-x^{2}-x^{2}-x + 1$
$=x^{3}-2x^{2}-x + 1$
把$x=\frac{1}{2}$代入上式得：
$(\frac{1}{2})^{3}-2×(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+1$
$=\frac{1}{8}-2×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1$
$=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1$
$=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
整式化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题主要考查整式的运算及代入求值，核心是掌握去括号法则和合并同类项的方法，代入计算时需注意有理数乘方、乘法及加减法的运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：首先根据去括号法则去掉式子中的括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；接着合并同类项，将相同次数的同类项合并，得到最简整式；最后把给定的x的值代入化简后的式子，按照有理数的运算规则计算出结果。
【解析】
解：原式$=x^{3}-x^{2}-x^{2}-x + 1$
$=x^{3}-2x^{2}-x + 1$
把$x=\frac{1}{2}$代入上式得：
$(\frac{1}{2})^{3}-2×(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+1$
$=\frac{1}{8}-2×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1$
$=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1$
$=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
整式化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题主要考查整式的运算及代入求值，核心是掌握去括号法则和合并同类项的方法，代入计算时需注意有理数乘方、乘法及加减法的运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
6. 已知某长方形的长为$(a + b)$cm，它的宽比长少$(a - b)$cm，求这个长方形的周长与面积。
答案
6. 解:由题可知长方形的宽为
$(a + b)-(a - b)=2b(cm)$
则$C=[(a + b)+2b]×2$
$=2a + 6b(cm)$
$S=(a + b)·2b$
$=2ab + 2b^{2}(cm^{2})$
$(a + b)-(a - b)=2b(cm)$
则$C=[(a + b)+2b]×2$
$=2a + 6b(cm)$
$S=(a + b)·2b$
$=2ab + 2b^{2}(cm^{2})$
解析
【分析】
首先，我们需要根据题目条件求出长方形的宽：已知宽比长少$(a - b)$cm，长为$(a + b)$cm，用长减去$(a - b)$即可得到宽。接着，分别运用长方形的周长公式$C=2×(长+宽)$和面积公式$S=长×宽$，将求出的长和宽代入公式，再通过整式的加减、乘法运算化简，就能得到最终的周长和面积结果。
【解析】
解：由题意可得长方形的宽为：
$(a + b)-(a - b)$
$=a + b - a + b$
$=2b$（cm）
计算周长：
$C=2×[(a + b)+2b]$
$=2×(a + b + 2b)$
$=2×(a + 3b)$
$=2a + 6b$（cm）
计算面积：
$S=(a + b)·2b$
$=a·2b + b·2b$
$=2ab + 2b^2$（$cm^2$）
【答案】
周长为$(2a + 6b)$cm，面积为$(2ab + 2b^2)$$cm^2$
【知识点】
长方形周长公式、长方形面积公式、整式的运算
【点评】
本题主要考查整式的加减与乘法运算，以及长方形周长和面积公式的应用。解题关键是正确求出长方形的宽，去括号时要注意符号变化，避免计算错误，整体注重基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要根据题目条件求出长方形的宽：已知宽比长少$(a - b)$cm，长为$(a + b)$cm，用长减去$(a - b)$即可得到宽。接着，分别运用长方形的周长公式$C=2×(长+宽)$和面积公式$S=长×宽$，将求出的长和宽代入公式，再通过整式的加减、乘法运算化简，就能得到最终的周长和面积结果。
【解析】
解：由题意可得长方形的宽为：
$(a + b)-(a - b)$
$=a + b - a + b$
$=2b$（cm）
计算周长：
$C=2×[(a + b)+2b]$
$=2×(a + b + 2b)$
$=2×(a + 3b)$
$=2a + 6b$（cm）
计算面积：
$S=(a + b)·2b$
$=a·2b + b·2b$
$=2ab + 2b^2$（$cm^2$）
【答案】
周长为$(2a + 6b)$cm，面积为$(2ab + 2b^2)$$cm^2$
【知识点】
长方形周长公式、长方形面积公式、整式的运算
【点评】
本题主要考查整式的加减与乘法运算，以及长方形周长和面积公式的应用。解题关键是正确求出长方形的宽，去括号时要注意符号变化，避免计算错误，整体注重基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.7
1. 长方形的长为$(3a - 2)$cm，宽为$a$cm，那么它的面积是(
A.$(3a^{2} - 2a)$cm²
B.$(3a^{2} - a)$cm²
C.$5a$cm²
D.$(3a^{2} + 1)$cm²
A
)A.$(3a^{2} - 2a)$cm²
B.$(3a^{2} - a)$cm²
C.$5a$cm²
D.$(3a^{2} + 1)$cm²
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽。题目中已经给出长为$(3a - 2)$cm，宽为$a$cm，所以我们只需要将长和宽代入公式，再运用单项式乘多项式的运算法则进行计算，最后将计算结果与选项对比，就能找到正确答案。具体思考步骤：第一步确定面积公式，第二步代入长和宽的表达式，第三步利用乘法分配律展开计算，第四步匹配选项。
【解析】
根据长方形面积公式：$S = 长×宽$，
已知长为$(3a - 2)$cm，宽为$a$cm，代入可得：
$S=(3a - 2)×a$
根据单项式乘多项式的法则，用单项式$a$分别乘多项式$(3a - 2)$的每一项：
$=3a×a - 2×a$
计算得：
$=3a^2 - 2a$（cm²）
所以长方形的面积是$(3a^2 - 2a)$cm²，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积公式，单项式乘多项式
【点评】
本题属于基础整式运算题，重点考查长方形面积公式的应用以及单项式乘多项式的运算规则，只要熟练掌握相关公式和运算法则，就能快速得出正确结果，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽。题目中已经给出长为$(3a - 2)$cm，宽为$a$cm，所以我们只需要将长和宽代入公式，再运用单项式乘多项式的运算法则进行计算，最后将计算结果与选项对比，就能找到正确答案。具体思考步骤：第一步确定面积公式，第二步代入长和宽的表达式，第三步利用乘法分配律展开计算，第四步匹配选项。
【解析】
根据长方形面积公式：$S = 长×宽$，
已知长为$(3a - 2)$cm，宽为$a$cm，代入可得：
$S=(3a - 2)×a$
根据单项式乘多项式的法则，用单项式$a$分别乘多项式$(3a - 2)$的每一项：
$=3a×a - 2×a$
计算得：
$=3a^2 - 2a$（cm²）
所以长方形的面积是$(3a^2 - 2a)$cm²，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积公式，单项式乘多项式
【点评】
本题属于基础整式运算题，重点考查长方形面积公式的应用以及单项式乘多项式的运算规则，只要熟练掌握相关公式和运算法则，就能快速得出正确结果，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式，能够表示图中阴影部分的面积的是(
①$at + (b - t)t$；
②$at + bt - t^{2}$；
③$ab - (a - t)(b - t)$；
④$(a - t)t + (b - t)t + t^{2}$。
A.只有①
B.①和②
C.①②和③
D.①②③④
D
)①$at + (b - t)t$；
②$at + bt - t^{2}$；
③$ab - (a - t)(b - t)$；
④$(a - t)t + (b - t)t + t^{2}$。
A.只有①
B.①和②
C.①②和③
D.①②③④
答案
2. D
解析
【分析】
要判断四个式子是否能表示阴影部分面积，可通过割补法结合整式运算来验证：
1. 先考虑分割法：把L型阴影分成两个长方形，或分成两个小长方形加一个正方形，推导面积表达式；
2. 再考虑补全法：用大长方形面积减去空白部分面积，推导后和分割法的结果对比；
3. 最后对每个式子展开化简，验证是否与正确的面积表达式一致，从而判断式子的合理性。
【解析】
我们逐一验证四个式子：
1. 验证①：
将阴影分为左侧长$a$、宽$t$的长方形，和右侧长$b-t$、宽$t$的长方形，总面积为$at + (b - t)t$，①能表示阴影面积，正确。
2. 验证②：
对①式展开化简：
$at + (b - t)t = at + bt - t^2$
与②式完全一致，②正确。
3. 验证③：
用大长方形面积$ab$减去右上角空白长方形（长$a-t$、宽$b-t$）的面积，计算得：
$\begin{aligned}ab - (a - t)(b - t)&=ab - (ab - at - bt + t^2)\\&=ab - ab + at + bt - t^2\\&=at + bt - t^2\end{aligned}$
结果和②式相同，③正确。
4. 验证④：
将阴影分为长$a-t$宽$t$的长方形、长$b-t$宽$t$的长方形、边长为$t$的正方形，总面积为$(a - t)t + (b - t)t + t^2$，展开化简：
$\begin{aligned}(a - t)t + (b - t)t + t^2&=at - t^2 + bt - t^2 + t^2\\&=at + bt - t^2\end{aligned}$
结果和前面的正确表达式一致，④正确。
综上，①②③④都能表示阴影部分面积，故选D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积；整式加减运算；代数式化简
【点评】
本题通过多种割补方式结合整式运算，考查组合图形面积的表示方法，需要灵活运用数形结合思想，同时锻炼整式化简的运算能力，是对图形分析和代数运算的综合考查。
【难度系数】
0.6
要判断四个式子是否能表示阴影部分面积，可通过割补法结合整式运算来验证：
1. 先考虑分割法：把L型阴影分成两个长方形，或分成两个小长方形加一个正方形，推导面积表达式；
2. 再考虑补全法：用大长方形面积减去空白部分面积，推导后和分割法的结果对比；
3. 最后对每个式子展开化简，验证是否与正确的面积表达式一致，从而判断式子的合理性。
【解析】
我们逐一验证四个式子：
1. 验证①：
将阴影分为左侧长$a$、宽$t$的长方形，和右侧长$b-t$、宽$t$的长方形，总面积为$at + (b - t)t$，①能表示阴影面积，正确。
2. 验证②：
对①式展开化简：
$at + (b - t)t = at + bt - t^2$
与②式完全一致，②正确。
3. 验证③：
用大长方形面积$ab$减去右上角空白长方形（长$a-t$、宽$b-t$）的面积，计算得：
$\begin{aligned}ab - (a - t)(b - t)&=ab - (ab - at - bt + t^2)\\&=ab - ab + at + bt - t^2\\&=at + bt - t^2\end{aligned}$
结果和②式相同，③正确。
4. 验证④：
将阴影分为长$a-t$宽$t$的长方形、长$b-t$宽$t$的长方形、边长为$t$的正方形，总面积为$(a - t)t + (b - t)t + t^2$，展开化简：
$\begin{aligned}(a - t)t + (b - t)t + t^2&=at - t^2 + bt - t^2 + t^2\\&=at + bt - t^2\end{aligned}$
结果和前面的正确表达式一致，④正确。
综上，①②③④都能表示阴影部分面积，故选D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积；整式加减运算；代数式化简
【点评】
本题通过多种割补方式结合整式运算，考查组合图形面积的表示方法，需要灵活运用数形结合思想，同时锻炼整式化简的运算能力，是对图形分析和代数运算的综合考查。
【难度系数】
0.6
3. 要使$x(x + a) + 3x - 2b = x^{2} + 5x + 4$成立，$a =$
2
，$b =$-2
。答案
3. $2,-2$
解析
【分析】
这是一道整式恒等式问题，解题思路是先将等式左边的式子展开并合并同类项，再利用“两个多项式相等时，对应项的系数分别相等”的性质，列出关于a、b的方程，最后解方程求出a、b的值。具体思考步骤：首先展开左边的单项式乘多项式部分，再合并一次项，然后对比等式左右两边的一次项系数和常数项，建立方程求解。
【解析】
第一步，展开并合并等式左边的整式：
$\begin{aligned}x(x + a) + 3x - 2b&=x^2 + ax + 3x - 2b\\&=x^2 + (a + 3)x - 2b\end{aligned}$
第二步，根据等式恒成立的性质，等式左右两边对应项的系数相等：
等式右边为$x^2 + 5x + 4$，因此：
1. 一次项系数相等：$a + 3 = 5$
2. 常数项相等：$-2b = 4$
第三步，解方程：
由$a + 3 = 5$，解得$a = 5 - 3 = 2$；
由$-2b = 4$，解得$b = 4÷(-2) = -2$。
【答案】
2，-2
【知识点】
整式的乘法、合并同类项、等式恒成立性质
【点评】
本题主要考查整式的运算及等式恒成立的条件，需要熟练掌握单项式乘多项式的运算法则和合并同类项的方法，通过对应系数相等建立方程求解参数，题目难度较低，认真计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道整式恒等式问题，解题思路是先将等式左边的式子展开并合并同类项，再利用“两个多项式相等时，对应项的系数分别相等”的性质，列出关于a、b的方程，最后解方程求出a、b的值。具体思考步骤：首先展开左边的单项式乘多项式部分，再合并一次项，然后对比等式左右两边的一次项系数和常数项，建立方程求解。
【解析】
第一步，展开并合并等式左边的整式：
$\begin{aligned}x(x + a) + 3x - 2b&=x^2 + ax + 3x - 2b\\&=x^2 + (a + 3)x - 2b\end{aligned}$
第二步，根据等式恒成立的性质，等式左右两边对应项的系数相等：
等式右边为$x^2 + 5x + 4$，因此：
1. 一次项系数相等：$a + 3 = 5$
2. 常数项相等：$-2b = 4$
第三步，解方程：
由$a + 3 = 5$，解得$a = 5 - 3 = 2$；
由$-2b = 4$，解得$b = 4÷(-2) = -2$。
【答案】
2，-2
【知识点】
整式的乘法、合并同类项、等式恒成立性质
【点评】
本题主要考查整式的运算及等式恒成立的条件，需要熟练掌握单项式乘多项式的运算法则和合并同类项的方法，通过对应系数相等建立方程求解参数，题目难度较低，认真计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
