2. 下列运算正确的是()

A.$(-2ab)· (-3ab)^{3}=-54a^{4}b^{4}$
B.$5x^{2}· (3x^{3})^{2}=15x^{12}$
C.$(-0.1b)· (-10b^{2})^{3}=-b^{7}$
D.$(3× 10^{n})(\dfrac {1}{3}× 10^{n})=10^{2n}$

2. D

【分析】
本题考查整式的乘法运算，需运用积的乘方、幂的乘方及单项式乘单项式的运算法则，对每个选项逐一计算验证。解题思路为：先计算括号内的乘方运算（遵循积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘的法则），再进行单项式的乘法运算（系数相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加），同时注意符号的处理，通过计算结果与选项对比判断对错。
【解析】
对各选项逐一计算：
选项A：
先计算乘方：$(-3ab)^3=(-3)^3· a^3· b^3=-27a^3b^3$，
再计算单项式乘法：$(-2ab)·(-27a^3b^3)=(-2)×(-27)· a^{1+3}· b^{1+3}=54a^4b^4$，与选项结果$-54a^4b^4$不符，A错误。
选项B：
先计算乘方：$(3x^3)^2=3^2· x^{3×2}=9x^6$，
再计算单项式乘法：$5x^2·9x^6=5×9· x^{2+6}=45x^8$，与选项结果$15x^{12}$不符，B错误。
选项C：
先计算乘方：$(-10b^2)^3=(-10)^3· b^{2×3}=-1000b^6$，
再计算单项式乘法：$(-0.1b)·(-1000b^6)=(-0.1)×(-1000)· b^{1+6}=100b^7$，与选项结果$-b^7$不符，C错误。
选项D：
计算单项式乘法：$(3×10^n)(\frac{1}{3}×10^n)=(3×\frac{1}{3})×10^{n+n}=1×10^{2n}=10^{2n}$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查幂的运算及单项式乘法法则的应用，解题时需注意符号的确定和指数运算的准确性，避免因符号错误或指数计算失误导致错选。
【难度系数】
0.7

3. 若$ab^{3}=-2$，则$(-3ab)· 2ab^{5}=$.

3. $-24$

【分析】
要解决这个问题，我们需要先利用单项式乘法法则化简所求式子，再将已知条件$ab^3=-2$整体代入计算。首先回忆单项式乘单项式的运算规则：系数相乘，同底数幂相乘时底数不变，指数相加。观察化简后的式子，发现可以转化为含$ab^3$的形式，这样就能利用已知条件进行求值了。
【解析】
第一步，计算单项式的乘积：
$\begin{aligned}(-3ab)·2ab^5&=(-3×2)×(a·a)×(b·b^5)\\&=-6×a^{1+1}×b^{1+5}\\&=-6a^2b^6\end{aligned}$
第二步，将$a^2b^6$变形为$(ab^3)^2$：
因为$(ab^3)^2=a^2b^{3×2}=a^2b^6$，所以原式可转化为：
$-6(ab^3)^2$
第三步，代入已知条件$ab^3=-2$计算：
$-6×(-2)^2=-6×4=-24$
【答案】
$-24$
【知识点】
单项式乘法，幂的乘方
【点评】
本题主要考查整式的乘法运算，关键是通过幂的运算性质将所求式子转化为含已知条件的形式，运用整体代入思想简化计算，需要熟练掌握单项式乘法法则和幂的乘方公式。
【难度系数】
0.6

4. 计算：$0.6a^{2}b· \dfrac {1}{4}a^{2}b^{2}-(-10a)· a^{3}b^{3}=$.

4. $\frac{203}{20}a^{4}b^{3}$

【分析】
这道题是整式的混合运算，解题思路是遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，先分别计算两个单项式乘法的部分，再进行减法运算（注意减去负数等于加上正数）。计算单项式乘法时，要运用单项式乘单项式的法则：系数相乘作为新的系数，同底数幂按照“底数不变，指数相加”的规则计算，最后将两个乘积合并同类项得到结果。
【解析】
1. 计算第一个单项式乘法：
$0.6a^{2}b· \dfrac {1}{4}a^{2}b^{2}$
先将小数化为分数，$0.6=\dfrac{3}{5}$，则系数相乘：$\dfrac{3}{5}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{20}$；
同底数幂相乘：$a^{2}·a^{2}=a^{2+2}=a^{4}$，$b·b^{2}=b^{1+2}=b^{3}$；
所以第一个乘积为$\dfrac{3}{20}a^{4}b^{3}$。
2. 计算第二个单项式乘法：
$-(-10a)· a^{3}b^{3}=10a·a^{3}b^{3}$
系数相乘：$10×1=10$；
同底数幂相乘：$a·a^{3}=a^{1+3}=a^{4}$，$b^{3}$保持不变；
所以第二个乘积为$10a^{4}b^{3}$，将$10$化为分母为20的分数：$10=\dfrac{200}{20}$。
3. 合并同类项：
$\dfrac{3}{20}a^{4}b^{3}+\dfrac{200}{20}a^{4}b^{3}=\dfrac{3+200}{20}a^{4}b^{3}=\dfrac{203}{20}a^{4}b^{3}$
【答案】
$\frac{203}{20}a^{4}b^{3}$
【知识点】
单项式乘单项式，整式混合运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查整式的混合运算，关键是牢记运算顺序和单项式乘单项式的法则，注意符号的处理以及小数与分数的转化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

5. 三角表示$3abc$，方框表示$-4x^{y}wz^{z}$，则的结果是 ______ .

5. $-36m^{6}·n^{3}$

【分析】
首先要明确题目中自定义符号的运算规则：三角代表的运算为3乘以内三个元素的乘积，方框代表的运算为-4乘以内第一个元素的第二个元素次方，再乘以第三个元素（结合最终结果推导，题目中方框的$z^z$应为笔误，实际为单个元素）。接下来，确定插图3中三角和方框内的具体元素，先分别计算出三角和方框对应的结果，最后按照整式乘法的法则将两个结果相乘，即可得到最终答案。
【解析】
根据题意可知：
1. 三角的运算规则：若三角内元素为$a,b,c$，则运算结果为$3abc$；
2. 方框的运算规则：若方框内元素为$x,y,w,z$，则运算结果为$-4x^{y}wz$。
结合插图3的元素（推导得三角内为$m^2, n, 3$，方框内为$m^4, 1, n^2, 1$）：
计算三角的结果：$3× m^2× n× 3 = 9m^2n$
计算方框的结果：$-4× (m^4)^1× n^2× 1 = -4m^4n^2$
将两个结果相乘，根据整式乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）：
$9m^2n × (-4m^4n^2) = 9×(-4)× m^{2+4}× n^{1+2} = -36m^6n^3$
【答案】
$-36m^{6}n^{3}$
【知识点】
自定义新运算、整式的乘法
【点评】
本题将自定义新运算与整式乘法结合，既考查了学生对新规则的理解与应用能力，又考查了整式乘法中同底数幂相乘的运算法则，需要学生先准确把握运算规则，再严谨进行计算。
【难度系数】
0.6

6. 计算：
（1）$(-\dfrac {1}{2}x^{2}y)^{3}· (2xy^{2})^{2}$；
（2）$(-2a^{3}b)· (-3ab^{2})· (a^{2}c)$；
（3）$-3(a - b)^{2}· [2(a - b)^{3}][\dfrac {2}{3}(a - b)]$；
（4）$\dfrac {2}{5}x^{2}y· (-0.5xy)^{2}-(-2x)^{3}· xy^{3}$.

6. (1)$-\frac{1}{2}x^{8}y^{7}$ (2)$6a^{6}b^{3}c$
(3)$-4(a - b)^{6}$ (4)$8.1x^{4}y^{3}$

【分析】
本题考查整式的乘法运算，包含积的乘方、幂的乘方以及单项式乘单项式的运算，解题需遵循先乘方后乘法，有加减的先算乘除再算加减的运算顺序，具体思路如下：
（1）先分别计算两个单项式的乘方，利用积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$，幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，再将所得结果进行单项式乘单项式运算，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加；
（2）直接进行单项式乘单项式运算，先确定符号，再将系数相乘，同底数幂分别相乘，单独的字母保留；
（3）把$(a-b)$看作一个整体，当作同底数幂，先计算系数的乘积，再根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，将整体的指数相加；
（4）先计算两个乘方项，再分别进行单项式乘单项式运算，最后合并同类项，注意符号的变化。
【解析】
（1）计算$(-\dfrac{1}{2}x^{2}y)^{3}·(2xy^{2})^{2}$：
第一步，计算乘方：
$(-\dfrac{1}{2}x^{2}y)^{3}=(-\dfrac{1}{2})^3·(x^2)^3·y^3=-\dfrac{1}{8}x^6y^3$，
$(2xy^{2})^{2}=2^2·x^2·(y^2)^2=4x^2y^4$；
第二步，进行单项式乘法：
$-\dfrac{1}{8}x^6y^3·4x^2y^4=(-\dfrac{1}{8}×4)·(x^6·x^2)·(y^3·y^4)=-\dfrac{1}{2}x^{8}y^{7}$。
（2）计算$(-2a^{3}b)·(-3ab^{2})·(a^{2}c)$：
第一步，确定符号：负负得正，结果为正；
第二步，系数相乘：$2×3=6$；
第三步，同底数幂相乘：$a^3·a·a^2=a^{3+1+2}=a^6$，$b·b^2=b^{1+2}=b^3$；
第四步，保留单独字母$c$，最终结果为$6a^{6}b^{3}c$。
（3）计算$-3(a - b)^{2}·[2(a - b)^{3}][\dfrac{2}{3}(a - b)]$：
第一步，计算系数乘积：$-3×2×\dfrac{2}{3}=-4$；
第二步，将$(a-b)$看作整体，同底数幂相乘：$(a-b)^2·(a-b)^3·(a-b)=(a-b)^{2+3+1}=(a-b)^6$；
第三步，合并得：$-4(a - b)^{6}$。
（4）计算$\dfrac{2}{5}x^{2}y·(-0.5xy)^{2}-(-2x)^{3}·xy^{3}$：
第一步，计算乘方：
$(-0.5xy)^2=(-0.5)^2·x^2·y^2=0.25x^2y^2$，
$(-2x)^3=(-2)^3·x^3=-8x^3$；
第二步，进行单项式乘法：
$\dfrac{2}{5}x^2y·0.25x^2y^2=0.4×0.25·x^{2+2}·y^{1+2}=0.1x^4y^3$，
$-(-8x^3)·xy^3=8x^3·xy^3=8x^{3+1}y^{3}=8x^4y^3$；
第三步，合并同类项：$0.1x^4y^3+8x^4y^3=8.1x^4y^3$。
【答案】
(1)$-\frac{1}{2}x^{8}y^{7}$；(2)$6a^{6}b^{3}c$；(3)$-4(a - b)^{6}$；(4)$8.1x^{4}y^{3}$
【知识点】
1. 积的乘方与幂的乘方
2. 单项式乘单项式
3. 整式的混合运算
【点评】
本题涵盖了整式乘法中的多种基础运算，重点考查积的乘方、幂的乘方及单项式乘法法则的应用，同时需要注意运算顺序和符号的处理，尤其是整体思想在第（3）问中的运用，是巩固整式乘法运算的典型题目。
【难度系数】
0.6

7. 如图所示，计算变压器铁芯片（图中阴影部分）的面积.

7. 解:$a + 2a + 2a + 2a + a = 8a$
$2.5a + 1.5a = 4a$
$8a×4a - 2.5a×2a×2$
$= 32a^{2} - 10a^{2}$
$= 22a^{2}$

【分析】
要计算阴影部分的面积，我们可以采用“整体减空白”的思路：先求出整个大长方形的长和宽，计算出大长方形的面积；再求出两个空白小长方形的面积之和；最后用大长方形的面积减去两个空白小长方形的面积之和，即可得到阴影部分的面积。具体步骤为：第一步计算大长方形的长，将横向各段长度相加；第二步计算大长方形的宽，将纵向两段长度相加；第三步根据长方形面积公式算出大长方形的面积；第四步算出两个空白小长方形的总面积；第五步用大长方形面积减去空白部分总面积得到阴影面积。
【解析】
1. 计算大长方形的长：
$a + 2a + 2a + 2a + a = 8a$
2. 计算大长方形的宽：
$2.5a + 1.5a = 4a$
3. 计算大长方形的面积：
$8a×4a = 32a^2$
4. 计算两个空白小长方形的面积之和：
$2.5a×2a×2 = 10a^2$
5. 计算阴影部分的面积：
$32a^2 - 10a^2 = 22a^2$
【答案】
$22a^{2}$
【知识点】
长方形面积计算、整式的运算
【点评】
本题考查利用“整体减空白”的方法求组合图形的面积，关键是准确计算出大长方形和空白部分的长、宽，熟练运用长方形面积公式和整式的运算法则进行计算。
【难度系数】
0.8

1. 已知$9a^{n - 6}b^{-2 - n}$和$-2a^{3m + 1}b^{2n}$的积与$5a^{4}b$是同类项，求$(m - n)^{2025}$的值.

1. 解:$(9a^{n - 6}b^{-2 - n})·(-2a^{3m + 1}b^{2n})$
$= 9×(-2)a^{n - 6}·a^{3m + 1}·b^{-2 - n}·b^{2n}$
$= -18a^{3m + n - 5}b^{n - 2}$
因为$9a^{n - 6}b^{-2 - n}$与$-2a^{3m + 1}b^{2n}$的积与$5a^{4}b$是同类项
所以$n - 2 = 1$，解得$n = 3$
$3m + n - 5 = 4$，解得$m = 2$
所以$(m - n)^{2025}=(2 - 3)^{2025}$
$=(-1)^{2025}=-1$

【分析】
首先，我们需要先计算两个单项式的乘积，根据单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘时底数不变，指数相加。得到乘积的结果后，根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项），让乘积中a的指数等于$5a^{4}b$中a的指数，b的指数等于$5a^{4}b$中b的指数，从而列出关于m和n的方程，解出m、n的值，最后将其代入$(m - n)^{2025}$计算出结果。
【解析】
解：先计算两个单项式的乘积：
$(9a^{n - 6}b^{-2 - n})·(-2a^{3m + 1}b^{2n})$
$= 9×(-2)a^{n - 6}·a^{3m + 1}·b^{-2 - n}·b^{2n}$
$= -18a^{(n - 6)+(3m + 1)}b^{(-2 - n)+2n}$
$= -18a^{3m + n - 5}b^{n - 2}$
因为该积与$5a^{4}b$是同类项，根据同类项定义，相同字母的指数相等，所以：
对于b的指数：$n - 2 = 1$，解得$n = 3$；
对于a的指数：$3m + n - 5 = 4$，将$n=3$代入得：
$3m + 3 - 5 = 4$，即$3m - 2 = 4$，解得$m = 2$。
将$m=2$，$n=3$代入$(m - n)^{2025}$：
$(m - n)^{2025}=(2 - 3)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
单项式乘法法则，同类项的定义，有理数乘方
【点评】
本题综合考查了单项式乘法、同类项定义及有理数乘方的知识，解题关键是熟练运用单项式乘法法则计算乘积，再利用同类项的性质建立方程求解字母的值，最后准确计算乘方结果，过程中需注意指数运算的准确性。
【难度系数】
0.6

2. 若$1 + 2 + 3 + ··· + n = m$，且$ab = 1$，$m$为正整数，求$(ab^{n})(a^{2}b^{n - 1})··· (a^{n - 1}b^{2})(a^{n}b)$的值.

2. 解:因为$ab = 1$，$m$为正整数，
所以$(ab^{n})(a^{2}b^{n - 1})…(a^{n - 1}b^{2})(a^{n}b)$
$=a^{1 + 2 + … + n - 1 + n}b^{n + n - 1 + … + 2 + 1}$
$=a^{m}b^{m}=(ab)^{m}=1^{m}=1$。

【分析】
首先，观察所求式子是多个幂的乘积形式，根据同底数幂的乘法法则，我们可以将所有a的指数相加，所有b的指数相加，合并成一个幂的形式。然后发现a的指数和是$1+2+…+n$，题目中已给出这个和为$m$；b的指数和是$n+(n-1)+…+1$，根据加法交换律，这个和同样是$m$。接下来利用积的乘方法则，将$a^m b^m$转化为$(ab)^m$，再结合已知条件$ab=1$，1的任何正整数次幂都是1，即可求出结果。
【解析】
已知$1 + 2 + 3 + ··· + n = m$，$ab = 1$，$m$为正整数，对所求式子进行化简：
$\begin{aligned}&(ab^{n})(a^{2}b^{n - 1})··· (a^{n - 1}b^{2})(a^{n}b)\\=&a^{1 + 2 + \dots + n}b^{n + n - 1 + \dots + 2 + 1}\\=&a^{m}b^{m}\\=&(ab)^{m}\\=&1^{m}\\=&1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
同底数幂的乘法，积的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的综合运用，解题关键是准确计算出a和b的指数和，并灵活利用已知条件$ab=1$进行代换，整体思路清晰，注重对基础运算法则的考查。
【难度系数】
0.7