4. 计算：
(1) $2x(-x^{2} + 3x - 4) - 3x^{2}(\frac{1}{2}x + 1)$；
(2) $(3x^{2} + \frac{1}{2}y - \frac{2}{3}y^{2}) · (-\frac{1}{2}xy)^{3}$；
(3) $12ab[2a - \frac{3}{4}(a - b) + \frac{2}{3}b]$。

4. (1)解:
原式$=-2x^{3}+6x^{2}-8x-\frac{3}{2}x^{3}-3x^{2}$
$=-\frac{7}{2}x^{3}+3x^{2}-8x$
(2)解:
原式$=(3x^{2}+\frac{1}{2}y-\frac{2}{3}y^{2})·(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})$
$=-\frac{3}{8}x^{5}y^{3}-\frac{1}{16}x^{3}y^{4}+\frac{1}{12}x^{3}y^{5}$
(3)解:原式$=24a^{2}b-9ab(a - b)+8ab^{2}$
$=24a^{2}b-9a^{2}b + 9ab^{2}+8ab^{2}$
$=15a^{2}b + 17ab^{2}$

【分析】
本题是三道整式的乘法运算题，解题思路如下：
(1) 先运用单项式乘多项式的法则，分别用$2x$乘$(-x^2+3x-4)$的每一项，用$-3x^2$乘$(\frac{1}{2}x+1)$的每一项，再将所得的积合并同类项；
(2) 先计算积的乘方$(-\frac{1}{2}xy)^3$，再运用单项式乘多项式的法则，用计算后的单项式乘多项式的每一项，注意系数和符号的运算；
(3) 先运用乘法分配律，将$12ab$分别乘中括号内的每一项，再展开单项式乘多项式的部分，最后合并同类项化简。
【解析】
(1) 解：
原式$=2x·(-x^2)+2x·3x+2x·(-4)-3x^2·\frac{1}{2}x-3x^2·1$
$=-2x^3+6x^2-8x-\frac{3}{2}x^3-3x^2$
$=(-2x^3-\frac{3}{2}x^3)+(6x^2-3x^2)-8x$
$=-\frac{7}{2}x^3+3x^2-8x$
(2) 解：
原式$=(3x^2+\frac{1}{2}y-\frac{2}{3}y^2)·(-\frac{1}{8}x^3y^3)$
$=3x^2·(-\frac{1}{8}x^3y^3)+\frac{1}{2}y·(-\frac{1}{8}x^3y^3)-\frac{2}{3}y^2·(-\frac{1}{8}x^3y^3)$
$=-\frac{3}{8}x^5y^3-\frac{1}{16}x^3y^4+\frac{1}{12}x^3y^5$
(3) 解：
原式$=12ab·2a - 12ab·\frac{3}{4}(a-b) + 12ab·\frac{2}{3}b$
$=24a^2b - 9ab(a-b) + 8ab^2$
$=24a^2b - 9a^2b + 9ab^2 + 8ab^2$
$=(24a^2b-9a^2b)+(9ab^2+8ab^2)$
$=15a^2b + 17ab^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{7}{2}x^3+3x^2-8x}$；
(2) $\boldsymbol{-\frac{3}{8}x^5y^3-\frac{1}{16}x^3y^4+\frac{1}{12}x^3y^5}$；
(3) $\boldsymbol{15a^2b + 17ab^2}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式；
2. 积的乘方；
3. 合并同类项
【点评】
本题主要考查整式的乘法运算，需要熟练掌握单项式乘多项式的法则、积的乘方法则以及合并同类项的方法，运算过程中要注意符号的变化和系数的计算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6

5. 先化简，再求值：若$x = \frac{1}{2}$，$y = 1$，求$x(x^{2} + xy + y^{2}) - y(x^{2} + xy + y^{2}) + 3xy(y - x)$的值。

5. 解: $x(x^{2}+xy + y^{2})-y(x^{2}+xy + y^{2})$
$+3xy(y - x)$
$=x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-x^{2}y-xy^{2}-y^{3}+$
$3xy^{2}-3x^{2}y$
$=x^{3}-y^{3}+3xy^{2}-3x^{2}y$
把$x=\frac{1}{2},y = 1$代入得
$(\frac{1}{2})^{3}-1^{3}+3×\frac{1}{2}×1^{2}-3×(\frac{1}{2})^{2}×1=$
$-\frac{1}{8}$

【分析】
这道题属于整式化简求值类题目，解题核心思路是先通过整式运算将式子化简，再代入数值计算，这样能大幅降低直接代入的计算量，减少出错概率。具体思考步骤：首先利用单项式乘多项式的法则，将式子中每个括号展开；接着找出所有同类项，通过合并同类项把式子简化为最简形式；最后把给定的$x=\frac{1}{2}$、$y=1$代入化简后的式子，计算出最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}&x(x^{2}+xy + y^{2})-y(x^{2}+xy + y^{2})+3xy(y - x)\\=&x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-x^{2}y-xy^{2}-y^{3}+3xy^{2}-3x^{2}y\\=&x^{3}-y^{3}+3xy^{2}-3x^{2}y\\\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2},y = 1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{2})^{3}-1^{3}+3×\frac{1}{2}×1^{2}-3×(\frac{1}{2})^{2}×1\\=&\frac{1}{8}-1+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}\\=&\frac{1}{8}-\frac{8}{8}+\frac{12}{8}-\frac{6}{8}\\=&-\frac{1}{8}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{1}{8}$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题重点考查整式的混合运算与代数式求值，先化简再求值是解决此类问题的最优策略，能有效简化计算流程。解题时需注意单项式乘多项式的符号规则，合并同类项要做到不重不漏，代入计算时需细心处理分数运算。
【难度系数】
0.7

6. 某同学在计算一个多项式乘$-3x^{2}$时，因抄错运算符号，算成了加上$-3x^{2}$，得到的结果是$x^{2} - 4x + 1$，那么正确的计算结果是多少？

6. 解:原多项式为:
$x^{2}-4x + 1-(-3x^{2})=4x^{2}-4x + 1$
则正确结果为:$(4x^{2}-4x + 1)·(-3x^{2})$
$=-12x^{4}+12x^{3}-3x^{2}$

【分析】
要解决这道题，我们需要先通过错误的运算结果反推出原来的多项式。因为该同学把“乘$-3x^{2}$”错算成“加上$-3x^{2}$”，得到结果$x^{2}-4x + 1$，所以原多项式就等于错误结果减去加上的$-3x^{2}$。得到原多项式后，再按照正确的运算（乘以$-3x^{2}$）进行计算，就能得出正确结果。
【解析】
1. 求原多项式：
已知原多项式加上$-3x^{2}$得到$x^{2}-4x + 1$，因此原多项式为：
$x^{2}-4x + 1 - (-3x^{2}) = x^{2}-4x + 1 + 3x^{2} = 4x^{2}-4x + 1$
2. 计算正确的结果：
用原多项式乘以$-3x^{2}$，根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$(4x^{2}-4x + 1)·(-3x^{2})$
$=4x^{2}·(-3x^{2}) + (-4x)·(-3x^{2}) + 1·(-3x^{2})$
$=-12x^{4} + 12x^{3} - 3x^{2}$
【答案】
$-12x^{4}+12x^{3}-3x^{2}$
【知识点】
1. 多项式加减运算
2. 单项式乘多项式运算
【点评】
本题考查整式的加减与乘法运算，核心是利用逆运算求出原多项式，再进行正确的乘法运算，既考验学生对整式运算法则的掌握，也考查学生的逻辑推理能力，需注意符号的变化和运算的准确性。
【难度系数】
0.6

7. 一块长方形硬纸片，长为$(5a^{2} + 4b^{2})$m，宽为$6a^{4}$m，在它的四个角上分别剪去一个边长为$\frac{3}{2}a^{3}$m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积。

7. 解:纸片的面积是:
$(5a^{2}+4b^{2})·6a^{4}=30a^{6}+24a^{4}b^{2}(m^{2})$
小正方形的面积是:$(\frac{3}{2}a^{3})^{2}=\frac{9}{4}a^{6}(m^{2})$
则无盖盒子的表面积是:
$30a^{6}+24a^{4}b^{2}-4×\frac{9}{4}a^{6}=21a^{6}+24a^{4}b^{2}$
$(m^{2})$

【分析】
要计算无盖盒子的表面积，思路如下：无盖盒子的表面积等于原长方形硬纸片的面积减去四个角上剪去的4个小正方形的总面积。首先分别求出长方形纸片的面积和单个小正方形的面积，再计算4个小正方形的总面积，最后用长方形面积减去该总面积即可得到盒子的表面积。
【解析】
1. 计算原长方形硬纸片的面积：
根据长方形面积公式，代入长和宽，利用多项式乘单项式法则计算：
$\begin{aligned}(5a^{2}+4b^{2})·6a^{4}&=5a^{2}·6a^{4}+4b^{2}·6a^{4}\\&=30a^{6}+24a^{4}b^{2}(m^{2})\end{aligned}$
2. 计算单个小正方形的面积：
根据正方形面积公式，代入边长，利用幂的乘方与积的乘方法则计算：
$(\frac{3}{2}a^{3})^{2}=(\frac{3}{2})^{2}·(a^{3})^{2}=\frac{9}{4}a^{6}(m^{2})$
3. 计算4个小正方形的总面积：
$4×\frac{9}{4}a^{6}=9a^{6}(m^{2})$
4. 计算无盖盒子的表面积：
用长方形纸片的面积减去4个小正方形的总面积：
$\begin{aligned}30a^{6}+24a^{4}b^{2}-9a^{6}&=(30a^{6}-9a^{6})+24a^{4}b^{2}\\&=21a^{6}+24a^{4}b^{2}(m^{2})\end{aligned}$
【答案】
$21a^{6}+24a^{4}b^{2}(m^{2})$
【知识点】
多项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，整式的加减
【点评】
本题考查整式的混合运算，核心是理解无盖盒子表面积的计算逻辑，需熟练掌握整式乘法和加减的运算法则，运算时注意系数和指数的正确处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽$a$米，下底宽$(a + 2b)$米，坝高$\frac{1}{2}a$米。
(1) 求防洪堤坝的横断面的面积。
(2) 如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

解:(1)防洪堤坝的横断面积
$S=\frac{1}{2}[a+(a + 2b)]×\frac{1}{2}a$
$=\frac{1}{4}a(2a + 2b)$
$=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab$(平方米)
故防洪堤坝的横断面积为$(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)$平方米.
(2)堤坝的体积$V = sh$
$=(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)×100$
$=50a^{2}+50ab$(立方米)
故这段防洪堤坝的体积是$(50a^{2}+50ab)$立方米.

【分析】
（1）首先明确防洪堤坝的横断面是梯形，解题核心是运用梯形面积公式：梯形面积=$\frac{1}{2}$×(上底+下底)×高。只需将题目给出的上底$a$米、下底$(a+2b)$米、坝高$\frac{1}{2}a$米代入公式，再通过整式运算化简式子，即可得到横断面积。
（2）堤坝可看作柱体，柱体体积公式为体积=底面积×长度（这里的底面积是横断面积，长度是堤坝的长）。用第一问求出的横断面积乘以堤坝长度100米，再进行整式运算化简，就能得到堤坝体积。
【解析】
(1) 计算防洪堤坝的横断面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}[a+(a + 2b)]×\frac{1}{2}a\\&=\frac{1}{4}a(2a + 2b)\\&=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab\end{aligned}$
故防洪堤坝的横断面积为$(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)$平方米。
(2) 计算堤坝的体积：
$\begin{aligned}V&=Sh\\&=(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)×100\\&=50a^{2}+50ab\end{aligned}$
故这段防洪堤坝的体积是$(50a^{2}+50ab)$立方米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)}$平方米；(2) $\boldsymbol{(50a^{2}+50ab)}$立方米。
【知识点】
梯形面积公式、整式的运算、柱体体积计算
【点评】
本题是基础的公式应用类题目，重点考查梯形面积公式和柱体体积公式的实际运用，以及整式的化简运算，只要牢记公式并准确计算，就能顺利解决，适合巩固基础公式和运算能力。
【难度系数】
0.8