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7. 如图，已知点$E$是正方形$ABCD$边上的中点，则$\sin∠ DEC$的值为
$ \dfrac{4}{5} $
.答案
7. $ \dfrac{4}{5} $
解析
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为$2a$，
∵点$E$是$AB$边的中点，
∴$AE=EB=a$，$AD=DC=BC=2a$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，
同理可得$CE=\sqrt{5}a$。
在$△ DEC$中，根据余弦定理：
$DC^2=DE^2+CE^2-2· DE· CE· \cos∠ DEC$，
代入各边长度：
$(2a)^2=(\sqrt{5}a)^2+(\sqrt{5}a)^2-2×\sqrt{5}a×\sqrt{5}a×\cos∠ DEC$，
化简得：$4a^2=10a^2-10a^2\cos∠ DEC$，
解得$\cos∠ DEC=\frac{3}{5}$。
∵$∠ DEC$为三角形内角，
∴$\sin∠ DEC=\sqrt{1-\cos^2∠ DEC}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题结合正方形与锐角三角函数的知识，通过设参数简化计算，利用勾股定理与余弦定理求解三角函数值，考查了对几何图形性质与三角函数公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
设正方形$ABCD$的边长为$2a$，
∵点$E$是$AB$边的中点，
∴$AE=EB=a$，$AD=DC=BC=2a$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，
同理可得$CE=\sqrt{5}a$。
在$△ DEC$中，根据余弦定理：
$DC^2=DE^2+CE^2-2· DE· CE· \cos∠ DEC$，
代入各边长度：
$(2a)^2=(\sqrt{5}a)^2+(\sqrt{5}a)^2-2×\sqrt{5}a×\sqrt{5}a×\cos∠ DEC$，
化简得：$4a^2=10a^2-10a^2\cos∠ DEC$，
解得$\cos∠ DEC=\frac{3}{5}$。
∵$∠ DEC$为三角形内角，
∴$\sin∠ DEC=\sqrt{1-\cos^2∠ DEC}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题结合正方形与锐角三角函数的知识，通过设参数简化计算，利用勾股定理与余弦定理求解三角函数值，考查了对几何图形性质与三角函数公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图，在网格中，小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$，$C$都在格点上，则$∠ ABC$的正弦值为
$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
.答案
8. $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
解析
【解析】
连接AC，根据勾股定理计算各边长度：
$AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
因为$AC^2 + AB^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 10$，$BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，所以$AC^2 + AB^2 = BC^2$，且$AC=AB$，因此$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC = 90°$，$∠ ABC = 45°$。
根据特殊角的三角函数值，$\sin45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即$∠ ABC$的正弦值为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理及其逆定理、特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查网格中三角函数值的求解，通过勾股定理及其逆定理判断三角形的形状，结合特殊角的三角函数值求解，需熟练掌握勾股定理与特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
连接AC，根据勾股定理计算各边长度：
$AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
因为$AC^2 + AB^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 10$，$BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，所以$AC^2 + AB^2 = BC^2$，且$AC=AB$，因此$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC = 90°$，$∠ ABC = 45°$。
根据特殊角的三角函数值，$\sin45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即$∠ ABC$的正弦值为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理及其逆定理、特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查网格中三角函数值的求解，通过勾股定理及其逆定理判断三角形的形状，结合特殊角的三角函数值求解，需熟练掌握勾股定理与特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在网格中，小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$，$C$都在格点上，则$∠ ABC$的正切值为
$ \dfrac{4}{3} $
.答案
9. $ \dfrac{4}{3} $
解析
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，计算直线BA与BC的斜率：直线BA的斜率$k_{BA}=-3$，直线BC的斜率$k_{BC}=-\frac{1}{3}$。根据两直线夹角的正切公式：
$\tan∠ ABC=\left|\frac{k_{BA}-k_{BC}}{1+k_{BA}· k_{BC}}\right|=\left|\frac{-3 - (-\frac{1}{3})}{1+(-3)×(-\frac{1}{3})}\right|=\left|\frac{-\frac{8}{3}}{2}\right|=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
两直线夹角公式、勾股定理
【点评】
本题考查网格中三角函数值的计算，需结合斜率知识利用两直线夹角公式求解，也可通过向量或构造直角三角形的方法解答，考查学生对三角函数定义及公式的应用能力。
【难度系数】
0.6
设网格中小正方形的边长为1，计算直线BA与BC的斜率：直线BA的斜率$k_{BA}=-3$，直线BC的斜率$k_{BC}=-\frac{1}{3}$。根据两直线夹角的正切公式：
$\tan∠ ABC=\left|\frac{k_{BA}-k_{BC}}{1+k_{BA}· k_{BC}}\right|=\left|\frac{-3 - (-\frac{1}{3})}{1+(-3)×(-\frac{1}{3})}\right|=\left|\frac{-\frac{8}{3}}{2}\right|=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
两直线夹角公式、勾股定理
【点评】
本题考查网格中三角函数值的计算，需结合斜率知识利用两直线夹角公式求解，也可通过向量或构造直角三角形的方法解答，考查学生对三角函数定义及公式的应用能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在网格中，小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$，$C$，$D$都在格点上，则$∠α$的余弦值为
$ \dfrac{9\sqrt{10}}{50} $
.答案
10. $ \dfrac{9\sqrt{10}}{50} $
解析
【解析】
设小正方形的边长为1，连接BD、AC，利用勾股定理计算各边长度：$AD = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，$BD = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，$AB = 5$，$AC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，$CD = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，再结合余弦定理及角的关系，计算得$\cosα=\frac{9\sqrt{10}}{50}$。
【答案】
$\dfrac{9\sqrt{10}}{50}$
【知识点】
余弦定理、勾股定理
【点评】
本题考查网格中锐角三角函数的求解，需通过构造三角形，结合勾股定理与余弦定理进行计算，对学生的几何构造能力与定理应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
设小正方形的边长为1，连接BD、AC，利用勾股定理计算各边长度：$AD = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，$BD = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，$AB = 5$，$AC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，$CD = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，再结合余弦定理及角的关系，计算得$\cosα=\frac{9\sqrt{10}}{50}$。
【答案】
$\dfrac{9\sqrt{10}}{50}$
【知识点】
余弦定理、勾股定理
【点评】
本题考查网格中锐角三角函数的求解，需通过构造三角形，结合勾股定理与余弦定理进行计算，对学生的几何构造能力与定理应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
11. 如图，正方形$CDEF$的顶点$D$，$F$在$\mathrm{Rt}△ ABC$的边$AC$，$BC$上，点$E$在$△ ABC$内，若$AC = 3$，$BC = 4$，$CD = 1$，求$\sin∠ ABE$的值.
答案
11. $ \dfrac{\sqrt{10}}{10} $
解析
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 因为四边形$CDEF$是正方形，$CD=1$，所以$CF=EF=CD=1$，$∠ EFB=90°$，$BF=BC-CF=4-1=3$。以点$C$为原点，$AC$所在直线为$x$轴，$BC$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，则$B(0,4)$，$E(1,1)$。
3. 过点$E$作$EH⊥ AB$于$H$，设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$，$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{4}{3}\\b=4\end{cases}$，即直线$AB$的方程为$4x+3y-12=0$。
4. 由点到直线的距离公式，得$EH=\dfrac{|4×1+3×1-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1$。
5. 由勾股定理得$BE=\sqrt{(0-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，$\sin∠ ABE=\dfrac{EH}{BE}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合考查勾股定理、正方形的性质及锐角三角函数的应用，解题关键是通过建立平面直角坐标系或构造直角三角形，将所求角转化为可利用直角三角形边角关系求解的角，需灵活运用几何性质与代数方法结合解题。
【难度系数】
0.4
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 因为四边形$CDEF$是正方形，$CD=1$，所以$CF=EF=CD=1$，$∠ EFB=90°$，$BF=BC-CF=4-1=3$。以点$C$为原点，$AC$所在直线为$x$轴，$BC$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，则$B(0,4)$，$E(1,1)$。
3. 过点$E$作$EH⊥ AB$于$H$，设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$，$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{4}{3}\\b=4\end{cases}$，即直线$AB$的方程为$4x+3y-12=0$。
4. 由点到直线的距离公式，得$EH=\dfrac{|4×1+3×1-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1$。
5. 由勾股定理得$BE=\sqrt{(0-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，$\sin∠ ABE=\dfrac{EH}{BE}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合考查勾股定理、正方形的性质及锐角三角函数的应用，解题关键是通过建立平面直角坐标系或构造直角三角形，将所求角转化为可利用直角三角形边角关系求解的角，需灵活运用几何性质与代数方法结合解题。
【难度系数】
0.4
