12. 利用$S = \frac{1}{2}ab·\sinα$（$α$为$a$，$b$两边的夹角）可以解决求角度的三角函数值这一类问题，请你尝试解决：
（1）如图①，已知直线$OA$的解析式为$y = x$，直线$BA$的解析式为$y = -2x + 6$，试求$∠ OAB$的正弦值；
（2）如图②，已知点$A(0,1)$，$B(1,0)$，直线$y = ax - 3a + 4$过定点$C$，试求$\sin C$.

12. 解:(1)由题意可得点 $ A(2,2) $，$ B(3,0) $，
$ \therefore S_{△ OAB}=3 $，$ OA=2\sqrt{2} $，$ BA=\sqrt{5} $，
$ \therefore \sin ∠ OAB=\dfrac{2S_{△ OAB}}{OA· AB}=\dfrac{6}{2\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10} $。
(2)连结 $ AB $。可得点 $ C(3,4) $，$ S_{△ ABC}=3 $，
$ CA=3\sqrt{2} $，$ BC=2\sqrt{5} $，
$ \therefore \sin C=\dfrac{2S_{△ CAB}}{CA· CB}=\dfrac{6}{6\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10} $。

【解析】
(1) 联立直线$OA$与$BA$的解析式$\begin{cases}y=x\\y=-2x+6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$，即$A(2,2)$；在$y=-2x+6$中，令$y=0$，解得$x=3$，即$B(3,0)$。
计算$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BA=\sqrt{(3-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}$。
由$S=\frac{1}{2}ab·\sinα$变形得$\sin∠ OAB=\frac{2S_{△ OAB}}{OA· AB}=\frac{2×3}{2\sqrt{2}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
(2) 将直线$y=ax-3a+4$变形为$y=a(x-3)+4$，当$x=3$时，$y=4$，得定点$C(3,4)$。
连接$AB$，已知$A(0,1)$，$B(1,0)$，用割补法求得$S_{△ ABC}=3$。
计算$CA=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(3-1)^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}$。
由$S=\frac{1}{2}ab·\sinα$变形得$\sin C=\frac{2S_{△ CAB}}{CA· CB}=\frac{2×3}{3\sqrt{2}×2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}}{10}}$
【知识点】
三角形面积公式，一次函数性质，勾股定理
【点评】
本题结合一次函数与三角形知识，考查利用特殊面积公式求角的正弦值，需灵活运用坐标求线段长与三角形面积，综合性较强。
【难度系数】
0.6

13. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$AD = 5$，点$E$在$DC$上，将矩形$ABCD$沿$AE$折叠，点$D$恰好落在$BC$边上的点$F$处，那么$\tan∠ EFC =$.

13. $ \dfrac{4}{3} $

【解析】
在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$AD=5$，$∠B=∠C=∠D=90°$，$BC=AD=5$。
由折叠的性质可知：$AF=AD=5$，$∠AFE=∠D=90°$，
所以$∠EFC+∠AFB=90°$，
又因为$∠BAF+∠AFB=90°$，故$∠EFC=∠BAF$。
在$Rt△ABF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
则$\tan∠BAF=\frac{BF}{AB}=\frac{4}{3}$，
所以$\tan∠EFC=\tan∠BAF=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数
【点评】
本题考查矩形与折叠的综合应用，关键是利用折叠的性质得到相等的线段和角，结合勾股定理与同角的余角相等转化角，进而求出三角函数值。
【难度系数】
0.6