三、解答题
5. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，分别过点$A$，$C$作$BD$的垂线，垂足分别为$E$，$F$.求证：$OE = OF$.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC$（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ $AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，
∴ $∠ AEO=∠ CFO=90°$。
在$△ AEO$和$△ CFO$中，
$\begin{cases}∠ AEO=∠ CFO \\∠ AOE=∠ COF \\OA=OC\end{cases}$
∴ $△ AEO≌△ CFO$（AAS）。
∴ $OE=OF$（全等三角形的对应边相等）。

6. 如图，在$□ ABCD$中，$O$是$BD$的中点，经过点$O$的直线分别与边$AD$，$BC$交于点$E$，$F$.试判断四边形$ABOE$的面积与四边形$CDOF$的面积是否相等.如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$S_{△ ABD}=S_{△ CDB}$，$∠ EDO=∠ FBO$。
∵ $O$是$BD$的中点，
∴ $OD=OB$。
在$△ DOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases}∠ EDO=∠ FBO \\∠ DOE=∠ BOF \\OD=OB\end{cases}$
∴ $△ DOE≌△ BOF$（AAS），
∴ $S_{△ DOE}=S_{△ BOF}$。
∵ $S_{\mathrm{四边形}ABOE}=S_{△ ABD}-S_{△ DOE}$，$S_{\mathrm{四边形}CDOF}=S_{△ CDB}-S_{△ BOF}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABOE}=S_{\mathrm{四边形}CDOF}$。

7. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$BD = 2AD$，$E$是$OC$的中点.求证：$BE⊥ AC$.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形
∴ $AD = BC$，$BD = 2OB$（平行四边形对边相等，对角线互相平分）
∵ $BD = 2AD$
∴ $2OB = 2BC$
∴ $OB = BC$
∴ $△ OBC$是等腰三角形
∵ $E$是$OC$的中点
∴ $BE⊥ AC$（等腰三角形三线合一）

8. 如图，将$□ ABCD$沿对角线$BD$进行折叠，折叠后点$C$落在点$F$处，$DF$交$AB$于点$E$.
（1）求证：$∠ EDB = ∠ EBD$.
（2）连接$AF$，判断$AF$与$BD$是否平行，并说明理由.

（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠CDB=∠EBD（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可知∠CDB=∠EDB，
∴∠EDB=∠EBD。
（2）解：AF//BD，理由如下：
由（1）知∠EDB=∠EBD，∴EB=ED。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD。
由折叠的性质可知CD=DF，∴AB=DF。
∵AB-EB=DF-ED，∴AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA。
∵∠DEB=∠AEF（对顶角相等），∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∠EAF+∠EFA+∠AEF=180°，
∴∠EDB=∠EAF，
∴AF//BD（同位角相等，两直线平行）。