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例 1 如图 8.1.3，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是边$AD$上一点，$EO⊥ BD$，垂足为$O$，连接$BE$.已知$□ ABCD$的周长为 18，求$△ ABE$的周长.
答案
解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OB=OD$，$AB=CD$，$AD=BC$，
∵ $□ABCD$的周长为18，
∴ $2(AB+AD)=18$，即$AB+AD=9$。
∵ $EO⊥BD$，$OB=OD$，
∴ $EO$是线段$BD$的垂直平分线，
∴ $BE=DE$。
∴ $△ABE$的周长$=AB+AE+BE$
$=AB+AE+DE$
$=AB+AD$
$=9$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OB=OD$，$AB=CD$，$AD=BC$，
∵ $□ABCD$的周长为18，
∴ $2(AB+AD)=18$，即$AB+AD=9$。
∵ $EO⊥BD$，$OB=OD$，
∴ $EO$是线段$BD$的垂直平分线，
∴ $BE=DE$。
∴ $△ABE$的周长$=AB+AE+BE$
$=AB+AE+DE$
$=AB+AD$
$=9$。
例 2 如图 8.1.4，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，直线$EF$过点$O$且与$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$.求证：$OE = OF$.
答案
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，
∴$∠ OAE=∠ OCF$，
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\OA=OC\\∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，
∴$∠ OAE=∠ OCF$，
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\OA=OC\\∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
1. 下列图形是中心对称图形的是 ()
A.等边三角形
B.直角三角形
C.平行四边形
D.五边形
A.等边三角形
B.直角三角形
C.平行四边形
D.五边形
答案
C
解析
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形。
A.等边三角形绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
B.直角三角形绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
C.平行四边形绕对角线的交点旋转180°后，能与原图形重合，是中心对称图形；
D.五边形绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形。
综上，符合条件的是C选项。
A.等边三角形绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
B.直角三角形绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
C.平行四边形绕对角线的交点旋转180°后，能与原图形重合，是中心对称图形；
D.五边形绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形。
综上，符合条件的是C选项。
2. 若平行四边形一边长为 14，对角线分别为$a$和$b$，则$a$和$b$的值可能是 ()
A.8 和 4
B.18 和 20
C.14 和 14
D.10 和 38
A.8 和 4
B.18 和 20
C.14 和 14
D.10 和 38
答案
B
解析
根据平行四边形对角线互相平分的性质，对角线的一半与边长14需构成三角形，满足三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）：
选项A：对角线一半为4和2，4+2=6＜14，不满足；
选项B：对角线一半为9和10，9+10=19＞14，10-9=1＜14，满足；
选项C：对角线一半为7和7，7+7=14，不满足两边之和大于第三边；
选项D：对角线一半为5和19，19-5=14，不满足两边之差小于第三边。
综上，只有选项B符合条件。
选项A：对角线一半为4和2，4+2=6＜14，不满足；
选项B：对角线一半为9和10，9+10=19＞14，10-9=1＜14，满足；
选项C：对角线一半为7和7，7+7=14，不满足两边之和大于第三边；
选项D：对角线一半为5和19，19-5=14，不满足两边之差小于第三边。
综上，只有选项B符合条件。
二、填空题
3. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ ODA = 90°$，$AC = 10$，$BD = 6$，则$BC$的长为.
3. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ ODA = 90°$，$AC = 10$，$BD = 6$，则$BC$的长为.
答案
解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AC=10$，$BD=6$，
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=5$，$OD=\frac{1}{2}BD=3$，$BC=AD$。
∵ $∠ODA=90°$，
∴ 在$Rt△ ODA$中，
$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴ $BC=AD=4$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AC=10$，$BD=6$，
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=5$，$OD=\frac{1}{2}BD=3$，$BC=AD$。
∵ $∠ODA=90°$，
∴ 在$Rt△ ODA$中，
$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴ $BC=AD=4$。
4. 如图，已知坐标原点$O$为$□ ABCD$的对角线$AC$的中点，顶点$A$的横坐标为 4，$AD$平行于$x$轴，且$AD$的长为 5.若$□ ABCD$的面积为 10，则顶点$B$的坐标为.
答案
$(1, -1)$
解析
1. 因为O是$□ ABCD$对角线AC的中点，所以A、C关于原点对称，已知A的横坐标为4，可得C的横坐标为-4。
2. 由于AD平行于x轴，且AD=5，A的横坐标为4，因此D的横坐标为$4-5=-1$，设$A(4, y)$，则$D(-1, y)$。
3. 根据平行四边形对角线互相平分的性质，B与D关于原点对称，故B的横坐标为1，纵坐标为$-y$。
4. $□ ABCD$的面积为10，AD=5，因此高为$10÷5=2$，即A、B纵坐标的距离为2，可得$|y - (-y)|=2$，解得$|y|=1$。结合图形A在第一象限，得$y=1$，故B的纵坐标为$-1$。
5. 综上，顶点B的坐标为$(1, -1)$。
2. 由于AD平行于x轴，且AD=5，A的横坐标为4，因此D的横坐标为$4-5=-1$，设$A(4, y)$，则$D(-1, y)$。
3. 根据平行四边形对角线互相平分的性质，B与D关于原点对称，故B的横坐标为1，纵坐标为$-y$。
4. $□ ABCD$的面积为10，AD=5，因此高为$10÷5=2$，即A、B纵坐标的距离为2，可得$|y - (-y)|=2$，解得$|y|=1$。结合图形A在第一象限，得$y=1$，故B的纵坐标为$-1$。
5. 综上，顶点B的坐标为$(1, -1)$。
