登录
例 1 如图 8.1.5，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$∠ A = ∠ C$. 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
答案
证明：
∵ AB // CD，
∴ ∠A + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠C + ∠D = 180°，
∴ AD // BC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵ AB // CD，AD // BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ AB // CD，
∴ ∠A + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠C + ∠D = 180°，
∴ AD // BC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵ AB // CD，AD // BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
例 2 如图 8.1.6，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为 $E$，$F$，且 $AF = CE$，$∠ BAC = ∠ DCA$. 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
答案
证明：
∵ ∠BAC = ∠DCA，
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行）。
∵ BE ⊥ AC，DF ⊥ AC，
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
∵ AF = CE，
∴ AF - EF = CE - EF，即 AE = CF。
在△ABE 和 △CDF 中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠DCF, \\∠AEB = ∠CFD, \\AE = CF,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（AAS）。
∴ AB = CD。
又∵ AB // CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ ∠BAC = ∠DCA，
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行）。
∵ BE ⊥ AC，DF ⊥ AC，
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
∵ AF = CE，
∴ AF - EF = CE - EF，即 AE = CF。
在△ABE 和 △CDF 中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠DCF, \\∠AEB = ∠CFD, \\AE = CF,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（AAS）。
∴ AB = CD。
又∵ AB // CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
1. 在四边形 $ABCD$ 中，已知 $AD // BC$. 添加下列条件不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是()
A.$AD = BC$
B.$AB = DC$
C.$AB // DC$
D.$∠ B = ∠ D$
A.$AD = BC$
B.$AB = DC$
C.$AB // DC$
D.$∠ B = ∠ D$
答案
B
解析
已知$AD// BC$，对各选项分析如下：
1. 选项A：一组对边平行且相等，根据平行四边形判定定理，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
2. 选项B：$AD// BC$且$AB=DC$，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形；
3. 选项C：两组对边分别平行，根据平行四边形定义，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
4. 选项D：由$AD// BC$得$∠ A+∠ B=180°$，结合$∠ B=∠ D$，可得$∠ A+∠ D=180°$，进而推出$AB// DC$，两组对边分别平行，可判定四边形$ABCD$是平行四边形。
综上，不能判定四边形$ABCD$是平行四边形的是选项B。
1. 选项A：一组对边平行且相等，根据平行四边形判定定理，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
2. 选项B：$AD// BC$且$AB=DC$，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形；
3. 选项C：两组对边分别平行，根据平行四边形定义，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
4. 选项D：由$AD// BC$得$∠ A+∠ B=180°$，结合$∠ B=∠ D$，可得$∠ A+∠ D=180°$，进而推出$AB// DC$，两组对边分别平行，可判定四边形$ABCD$是平行四边形。
综上，不能判定四边形$ABCD$是平行四边形的是选项B。
2. 在下列给出的四边形 $ABCD$ 的 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$，$∠ D$ 的度数比中，能使四边形 $ABCD$ 为平行四边形的是()
A.$1:2:3:4$
B.$2:2:3:4$
C.$2:3:3:2$
D.$2:3:2:3$
A.$1:2:3:4$
B.$2:2:3:4$
C.$2:3:3:2$
D.$2:3:2:3$
答案
D
解析
根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即四边形中∠A与∠C、∠B与∠D的度数比需分别相等。分析选项：
A选项：1:2:3:4，对角份数不相等；
B选项：2:2:3:4，对角份数不相等；
C选项：2:3:3:2，∠A与∠C、∠B与∠D份数均不相等；
D选项：2:3:2:3，∠A与∠C份数均为2，∠B与∠D份数均为3，满足两组对角分别相等，因此该四边形为平行四边形。
A选项：1:2:3:4，对角份数不相等；
B选项：2:2:3:4，对角份数不相等；
C选项：2:3:3:2，∠A与∠C、∠B与∠D份数均不相等；
D选项：2:3:2:3，∠A与∠C份数均为2，∠B与∠D份数均为3，满足两组对角分别相等，因此该四边形为平行四边形。
二、填空题
3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AO = CO$，添加条件：(只添加一个条件)，可得四边形 $ABCD$ 为平行四边形.
3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AO = CO$，添加条件：(只添加一个条件)，可得四边形 $ABCD$ 为平行四边形.
答案
解：添加条件：$\boldsymbol{BO=DO}$（答案不唯一）。
∵ $AO=CO$，$BO=DO$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ $AO=CO$，$BO=DO$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
4. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DE // AC$，$CE // BD$，直线 $CE$ 与直线 $DE$ 相交于点 $E$. 若 $AC = 3$，$BD = 5$，则四边形 $OCED$ 的周长为.
答案
8
解析
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，所以$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$。
2. 由于$DE// AC$，$CE// BD$，可得四边形$OCED$是平行四边形。
3. 因此四边形$OCED$的周长为$2(OC+OD)=2×(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})=8$。
2. 由于$DE// AC$，$CE// BD$，可得四边形$OCED$是平行四边形。
3. 因此四边形$OCED$的周长为$2(OC+OD)=2×(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})=8$。
