三、解答题
5. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ BAC = ∠ ACD$，$∠ BCA = ∠ DAC$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形吗？为什么？

解：
因为$∠ BAC = ∠ ACD$，
所以$AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。
因为$∠ BCA = ∠ DAC$，
所以$AD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
所以四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。

6. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $AD$，$BC$ 上，且 $AE = CF$，连接 $EF$，$BD$. 求证：$EF$ 与 $BD$ 互相平分.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$，
又∵ $AE=CF$，
∴ $AD - AE = BC - CF$，即$ED=BF$，
又∵ $ED// BF$，
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $EF$与$BD$互相平分（平行四边形的对角线互相平分）。

7. 如图，点 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $□ ABCD$ 各边的中点，连接 $AF$，$CE$ 相交于点 $M$，连接 $AG$，$CH$ 相交于点 $N$. 求证：四边形 $AMCN$ 是平行四边形.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，$AD// BC$，$AD=BC$。
∵ $E$是$AB$的中点，$G$是$CD$的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB$，$CG=\frac{1}{2}CD$，
∴ $AE=CG$，又$AE// CG$，
∴ 四边形$AECG$是平行四边形，
∴ $CE// AG$，即$AM// CN$。
∵ $F$是$BC$的中点，$H$是$AD$的中点，
∴ $AH=\frac{1}{2}AD$，$CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AH=CF$，又$AH// CF$，
∴ 四边形$AFCH$是平行四边形，
∴ $AF// CH$，即$AN// CM$。
∵ $AM// CN$，$AN// CM$，
∴ 四边形$AMCN$是平行四边形。

8. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 在对角线 $BD$ 上，$BE = DF$，点 $M$，$N$ 分别在 $BA$ 和 $DC$ 的延长线上，且 $AM = CN$，连接 $ME$，$EN$，$FM$，$FN$.
（1）求证：$△ BEM ≌ △ DFN$.
（2）求证：四边形 $MENF$ 是平行四边形.

（1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$∠ MBE=∠ NDF$，
∵$AM=CN$，
∴$AB+AM=CD+CN$，即$BM=DN$，
在$△ BEM$和$△ DFN$中，
$\begin{cases}BM=DN\\∠ MBE=∠ NDF\\BE=DF\end{cases}$
∴$△ BEM≌△ DFN$（$\mathrm{SAS}$）。
（2）证明：
由（1）知$△ BEM≌△ DFN$，
∴$ME=FN$，$∠ BEM=∠ DFN$，
∴$180°-∠ BEM=180°-∠ DFN$，即$∠ MEF=∠ NFE$，
∴$ME// FN$，
又∵$ME=FN$，
∴四边形$MENF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。