例 1 把下列各式分解因式：
（1）$x^{2}-4x + 4$；（2）$(x - y)^{2}-6(x - y)+9$；
（3）$y^{4}+10y^{2}+25$；（4）$-4x^{2}+28xy - 47y^{2}$。

解：
（1）$x^{2}-4x + 4$
$=x^{2}-2· x·2+2^{2}$
$=(x-2)^{2}$
（2）$(x - y)^{2}-6(x - y)+9$
$=(x-y)^{2}-2·(x-y)·3+3^{2}$
$=[(x-y)-3]^{2}$
$=(x-y-3)^{2}$
（3）$y^{4}+10y^{2}+25$
$=(y^{2})^{2}+2· y^{2}·5+5^{2}$
$=(y^{2}+5)^{2}$
（4）$-4x^{2}+28xy - 49y^{2}$
$=-(4x^{2}-28xy+49y^{2})$
$=-[(2x)^{2}-2·2x·7y+(7y)^{2}]$
$=-(2x-7y)^{2}$
注：第（4）小题原题中“$-47y^{2}$”应为“$-49y^{2}$”，否则无法用完全平方公式分解，此处按符合完全平方公式的形式修正后解题。

例 2 把下列各式分解因式：
（1）$3m^{2}-6mn + 3n^{2}$；（2）$(x^{2}+2x)^{2}+2(x^{2}+2x)+1$。

解：
（1）$3m^{2}-6mn + 3n^{2}$
$=3(m^{2}-2mn + n^{2})$
$=3(m-n)^{2}$
（2）$(x^{2}+2x)^{2}+2(x^{2}+2x)+1$
$=(x^{2}+2x+1)^{2}$
$=[(x+1)^{2}]^{2}$
$=(x+1)^{4}$

1. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是()

A.$x^{2}-2xy + y^{2}$
B.$-x^{2}+2xy - y^{2}$
C.$-x^{2}-2xy + y^{2}$
D.$x^{2}+4y^{2}+4xy$

C

完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
选项A：$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，能用完全平方公式分解；
选项B：$-x^2+2xy-y^2=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，能用完全平方公式分解；
选项C：$-x^2-2xy+y^2$无法转化为$a^2\pm2ab+b^2$的形式，不能用完全平方公式分解；
选项D：$x^2+4y^2+4xy=x^2+4xy+(2y)^2=(x+2y)^2$，能用完全平方公式分解。
综上，不能用完全平方公式分解因式的是选项C。

2. 已知正方形的面积是$x^{2}-8x + 16(x＞4)$，则正方形的周长是()

A.$4 - x$
B.$x - 4$
C.$16 - 4x$
D.$4x - 16$

D

先对正方形面积的表达式因式分解，由完全平方公式可得$x^2 - 8x + 16=(x-4)^2$。因为$x＞4$，所以正方形的边长为$x-4$，则正方形的周长为$4(x-4)=4x-16$。

二、填空题
3. 若$|x - 2025|+(y - 2024)^{2}=0$，则$x^{2}-2xy + y^{2}=$。

解：
因为$|x - 2025|+(y - 2024)^{2}=0$，
且$|x - 2025|≥0$，$(y - 2024)^{2}≥0$，
所以$x - 2025=0$，$y - 2024=0$，
解得$x=2025$，$y=2024$。
$x^{2}-2xy + y^{2}=(x - y)^{2}$，
将$x=2025$，$y=2024$代入得：
$(2025 - 2024)^{2}=1^{2}=1$。
故答案为：$\boldsymbol{1}$。

4. 若多项式$4x^{2}+mx + n$可以因式分解为$(2x - 5)^{2}$，则$m + n=$。

5

先利用完全平方公式展开$(2x - 5)^{2}$：
$(2x - 5)^{2}=(2x)^2 - 2×2x×5 + 5^2=4x^2 - 20x + 25$。
因为$4x^{2}+mx + n=(2x - 5)^{2}$，对应系数相等可得$m=-20$，$n=25$。
则$m+n=-20+25=5$。