三、解答题
5. 把下列各式分解因式：
（1）$1 + 8x + 16x^{2}$；（2）$-m^{2}+4mn - 4n^{2}$；
（3）$(x + y)^{2}+4(x + y)+4$；（4）$(m + n)^{2}-4m(m + n)+4m^{2}$。

解：
（1）$1 + 8x + 16x^{2}$
$=(4x)^2 + 2×4x×1 + 1^2$
$=(4x + 1)^2$
（2）$-m^{2}+4mn - 4n^{2}$
$=-(m^2 - 4mn + 4n^2)$
$=-(m^2 - 2× m×2n + (2n)^2)$
$=-(m - 2n)^2$
（3）$(x + y)^{2}+4(x + y)+4$
$=(x+y)^2 + 2×(x+y)×2 + 2^2$
$=(x + y + 2)^2$
（4）$(m + n)^{2}-4m(m + n)+4m^{2}$
$=(m+n)^2 - 2×(m+n)×2m + (2m)^2$
$=[(m+n) - 2m]^2$
$=(n - m)^2$

6. 把下列各式分解因式：
（1）$2a^{3}+12a^{2}+18a$；（2）$-8ax^{2}+16axy - 8ay^{2}$。

解：
（1）$2a^{3}+12a^{2}+18a$
$=2a(a^{2}+6a+9)$
$=2a(a+3)^{2}$
（2）$-8ax^{2}+16axy - 8ay^{2}$
$=-8a(x^{2}-2xy+y^{2})$
$=-8a(x-y)^{2}$

7. 请你尝试用配完全平方的方法解决下列问题：
（1）若$m^{2}+n^{2}-6m + 10n + 34 = 0$，求$m$和$n$的值；
（2）已知在$△ ABC$中，$a$，$b$，$c$是三边的长，且$a^{2}-12b^{2}-c^{2}+4ab + 8bc = 0$，求$\frac{b}{a + c}$的值。

解：
（1）$m^{2}+n^{2}-6m + 10n + 34 = 0$
分组配方得：
$(m^{2}-6m+9)+(n^{2}+10n+25)=0$
即$(m-3)^{2}+(n+5)^{2}=0$
因为$(m-3)^{2}≥0$，$(n+5)^{2}≥0$，所以：
$m-3=0$，$n+5=0$
解得$m=3$，$n=-5$
（2）$a^{2}-12b^{2}-c^{2}+4ab + 8bc = 0$
整理式子并配方：
$a^{2}+4ab+4b^{2}-c^{2}+8bc-16b^{2}=0$
即$(a+2b)^{2}-(c-4b)^{2}=0$
由平方差公式分解得：
$(a+2b+c-4b)(a+2b-c+4b)=0$
化简为：
$(a+c-2b)(a+6b-c)=0$
在$△ ABC$中，$a+b＞c$，故$a+6b-c=a+b+5b-c＞0$
因此$a+c-2b=0$，即$a+c=2b$
所以$\frac{b}{a+c}=\frac{1}{2}$