三、解答题
5. 把下列各式分解因式：
（1）$m^{2}-9$； （2）$9m^{2}-4n^{2}$；
（3）$9(m + n)^{2}-(m - n)^{2}$； （4）$9a^{2}(x - y)+4b^{2}(y - x)$.

解：
（1）$m^{2}-9$
$=m^{2}-3^{2}$
$=(m+3)(m-3)$
（2）$9m^{2}-4n^{2}$
$=(3m)^{2}-(2n)^{2}$
$=(3m+2n)(3m-2n)$
（3）$9(m + n)^{2}-(m - n)^{2}$
$=[3(m+n)]^{2}-(m-n)^{2}$
$=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]$
$=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)$
$=(4m+2n)(2m+4n)$
$=2(2m+n)·2(m+2n)$
$=4(2m+n)(m+2n)$
（4）$9a^{2}(x - y)+4b^{2}(y - x)$
$=9a^{2}(x-y)-4b^{2}(x-y)$
$=(x-y)(9a^{2}-4b^{2})$
$=(x-y)[(3a)^{2}-(2b)^{2}]$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$

6. 把下列各式分解因式：
（1）$a^{3}-a$； （2）$5a^{2}-20b^{2}$.

解：
（1）$a^{3}-a$
$=a(a^{2}-1)$
$=a(a+1)(a-1)$
（2）$5a^{2}-20b^{2}$
$=5(a^{2}-4b^{2})$
$=5(a+2b)(a-2b)$

7. 利用因式分解计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×(1-\frac{1}{5^{2}})×···×(1-\frac{1}{9^{2}})×(1-\frac{1}{10^{2}})$.

解：
原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{9})(1+\frac{1}{9})×(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{8}{9}×\frac{10}{9}×\frac{9}{10}×\frac{11}{10}$
$=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{4}{3}×\frac{3}{4})×···×(\frac{10}{9}×\frac{9}{10})×\frac{11}{10}$
$=\frac{1}{2}×1×1×···×1×\frac{11}{10}$
$=\frac{11}{20}$

8. 小红在学习中发现：两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是$8$的倍数.请你帮助小红验证结论的正确性.

证明：
设较小的奇数为$2n - 1$（$n$为整数），则相邻的较大奇数为$2n + 1$。
$\begin{aligned}(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2&=[(2n + 1) + (2n - 1)][(2n + 1) - (2n - 1)]\\&=(4n)×2\\&=8n\end{aligned}$
因为$n$为整数，所以$8n$是8的倍数。
即两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是8的倍数。