例 把下列各式分解因式：
（1）$m^{2}-4n^{2}$； （2）$(x - y)^{2}-4(x + y)^{2}$；
（3）$y^{3}-16y$； （4）$x^{4}-1$.

解：
（1）$m^{2}-4n^{2}$
$=m^{2}-(2n)^{2}$
$=(m+2n)(m-2n)$
（2）$(x - y)^{2}-4(x + y)^{2}$
$=(x-y)^{2}-[2(x+y)]^{2}$
$=[(x-y)+2(x+y)][(x-y)-2(x+y)]$
$=(x-y+2x+2y)(x-y-2x-2y)$
$=(3x+y)(-x-3y)$
$=-(3x+y)(x+3y)$
（3）$y^{3}-16y$
$=y(y^{2}-16)$
$=y(y^{2}-4^{2})$
$=y(y+4)(y-4)$
（4）$x^{4}-1$
$=(x^{2})^{2}-1^{2}$
$=(x^{2}+1)(x^{2}-1)$
$=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)$

1. 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 ()

A.$a^{2}-b$
B.$a^{2}+2b^{2}$
C.$9a^{2}-b^{2}$
D.$-a^{2}-b^{2}$

C

平方差公式因式分解的条件是多项式为两个平方项的差，即形如$m^2 - n^2$的形式。
选项A：$b$不是平方项，不符合；
选项B：是平方项的和，且$2b^2$不是平方项，不符合；
选项C：$9a^2=(3a)^2$，$9a^2 - b^2=(3a)^2 - b^2$，符合平方差形式，可用平方差公式因式分解；
选项D：$-a^2 - b^2=-(a^2 + b^2)$，是平方项的和，不符合。
综上，选C。

2. 对多项式$4 - x^{2}$进行因式分解，正确的是 ()

A.$4 - x^{2}=(4 + x)(4 - x)$
B.$4 - x^{2}=(x + 2)(x - 2)$
C.$4 - x^{2}=(1 + 2x)(1 - 2x)$
D.$4 - x^{2}=(2 + x)(2 - x)$

D

先将多项式转化为平方差形式：$4 - x^{2}=2^{2}-x^{2}$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得$4 - x^{2}=(2+x)(2-x)$，对应选项D。

二、填空题
3. 利用因式分解计算：$2025^{2}-2024^{2}=$.

解：
$2025^{2}-2024^{2}$
$=(2025+2024)(2025-2024)$
$=4049×1$
$=4049$

4. 若$k$为任意整数，则$(2k + 3)^{2}-4k^{2}$的值总能被整除.

3

先展开并化简原式：
$\begin{aligned}(2k + 3)^2 - 4k^2&=4k^2 + 12k + 9 - 4k^2\\&=12k + 9\\&=3(4k + 3)\end{aligned}$
由于k为任意整数，4k+3是整数，故原式的值是3的整数倍，总能被3整除。