【例1】如图，AC 是▱ABCD 的对角线，过点 B 作 BG⊥AC，交 AD 于点 G，垂足为 E，过点 D 作 DH⊥AC，交 BC 于点 H，垂足为 F，连接 GH，EH。有下列结论：①BE = DF；②四边形 GBHD 是平行四边形；③∠GAC = ∠DHC；④GH 平分▱ABCD 的周长；$⑤S_{△ABE} = S_{△EHC}$，其中正确的个数是()


A.2
B.3
C.4
D.5

[例1]C

【解析】
1. 验证①$BE = DF$：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，$∠ BAE=∠ DCF$。
∵$BG⊥ AC$，$DH⊥ AC$，
∴$∠ AEB=∠ CFD=90°$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，$\begin{cases}∠ AEB=∠ CFD\\∠ BAE=∠ DCF\\AB=CD\end{cases}$，
∴$△ ABE≌△ CDF$（AAS），故$BE=DF$，①正确。
2. 验证②四边形$GBHD$是平行四边形：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，即$GD// BH$。
∵$BG⊥ AC$，$DH⊥ AC$，
∴$BG// DH$。
根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可知四边形$GBHD$是平行四边形，②正确。
3. 验证③$∠ GAC = ∠ DHC$：
由②可得四边形$AGCH$是平行四边形，
∴$∠ GAC=∠ HCA$。
∵$DH⊥ AC$，
∴$∠ DHC+∠ HCA=90°$，即$∠ DHC=90°-∠ HCA=90°-∠ GAC$，故$∠ GAC≠∠ DHC$，③错误。
4. 验证④$GH$平分$□ ABCD$的周长：
由四边形$AGCH$是平行四边形得$AG=HC$。
∵平行四边形$ABCD$中$AB=CD$，$AD=BC$，
∴$AB+BH+AG=AB+BH+HC=AB+BC$，$CD+DG+HC=CD+DG+AG=CD+AD$。
又$AB+BC=CD+AD$，即$GH$分平行四边形的两部分周长相等，故$GH$平分$□ ABCD$的周长，④正确。
5. 验证⑤$S_{△ ABE} = S_{△ EHC}$：
由$△ ABE≌△ CDF$得$AE=CF$，则$EC=AF$。
结合$△ AEG≌△ CFH$得$EG=FH$，且$BE=DF$。
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AE· BE$，$S_{△ EHC}=\frac{1}{2}· EC· FH$，
∵$AE=CF$，$EC=AF$，$BE=FH$，故$S_{△ ABE}=S_{△ EHC}$，⑤正确。
综上，正确的结论有①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的相关知识，需要逐一分析每个结论，对学生的逻辑推理能力和图形分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.6