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【例2】如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠A = ∠C。
（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
（2）若 F 为边 AB 上一点，E 为边 BC 的中点，连接 DF，EF，DE，若∠DEF = 90°，请你写出线段 AF，BF，DF 之间的数量关系，并说明理由。
（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
（2）若 F 为边 AB 上一点，E 为边 BC 的中点，连接 DF，EF，DE，若∠DEF = 90°，请你写出线段 AF，BF，DF 之间的数量关系，并说明理由。
答案
[例2](1)证明:因为AB//CD,所以∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°.因为∠A=∠C,所以∠B=∠D,所以四边形ABCD是平行四边形.
(2)解:DF=AF+2BF.理由如下:
如图,延长FE,交DC的延长线于点G.
因为AB//DG,所以∠B=∠ECG.因为BE=CE,∠BEF=∠CEG,所以△BEF≌△CEG(ASA),所以EF=EG,BF=CG.因为∠DEF=90°,所以DE⊥FG,所以DF=DG.因为DG=CD+CG=AB+BF=AF+BF+BF=AF+2BF,所以DF=AF+2BF.
解析
【解析】
（1）证明：
因为$AB// CD$，所以$∠ A+∠ ADC=180°$，$∠ B+∠ C=180°$。
又因为$∠ A=∠ C$，所以$∠ B=∠ ADC$，
根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形$ABCD$是平行四边形。
（2）解：线段关系为$DF=AF+2BF$，理由如下：
延长$FE$，交$DC$的延长线于点$G$。
因为$AB// DG$，所以$∠ B=∠ ECG$。
因为$E$为$BC$的中点，所以$BE=CE$。
在$△ BEF$和$△ CEG$中，
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ ECG\\ BE=CE\\ ∠ BEF=∠ CEG\end{array} $
所以$△ BEF≌△ CEG$（ASA），则$EF=EG$，$BF=CG$。
因为$∠ DEF=90°$，所以$DE$垂直平分$FG$，故$DF=DG$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD$。
$DG=CD+CG=AB+BF=AF+BF+BF=AF+2BF$，因此$DF=AF+2BF$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$DF=AF+2BF$，理由见上述解析。
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及线段垂直平分线的相关性质，第一小问利用平行线性质与补角关系完成平行四边形的证明，第二小问通过构造全等三角形实现线段转化，进而推导线段数量关系，需熟练掌握相关定理并灵活运用辅助线。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
因为$AB// CD$，所以$∠ A+∠ ADC=180°$，$∠ B+∠ C=180°$。
又因为$∠ A=∠ C$，所以$∠ B=∠ ADC$，
根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形$ABCD$是平行四边形。
（2）解：线段关系为$DF=AF+2BF$，理由如下：
延长$FE$，交$DC$的延长线于点$G$。
因为$AB// DG$，所以$∠ B=∠ ECG$。
因为$E$为$BC$的中点，所以$BE=CE$。
在$△ BEF$和$△ CEG$中，
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ ECG\\ BE=CE\\ ∠ BEF=∠ CEG\end{array} $
所以$△ BEF≌△ CEG$（ASA），则$EF=EG$，$BF=CG$。
因为$∠ DEF=90°$，所以$DE$垂直平分$FG$，故$DF=DG$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD$。
$DG=CD+CG=AB+BF=AF+BF+BF=AF+2BF$，因此$DF=AF+2BF$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$DF=AF+2BF$，理由见上述解析。
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及线段垂直平分线的相关性质，第一小问利用平行线性质与补角关系完成平行四边形的证明，第二小问通过构造全等三角形实现线段转化，进而推导线段数量关系，需熟练掌握相关定理并灵活运用辅助线。
【难度系数】
0.6
【例3】如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AD//BC，∠ADC = ∠ABC，OA = OB。
（1）求证：四边形 ABCD 为矩形。
（2）已知 E 是 AD 边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别是点 F 和点 G，若 AD = 24，AB = 10，求 EG + EF 的值。
（1）求证：四边形 ABCD 为矩形。
（2）已知 E 是 AD 边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别是点 F 和点 G，若 AD = 24，AB = 10，求 EG + EF 的值。
答案
[例3](1)证明:因为AD//BC,所以∠ADC+∠BCD=180°.因为∠ADC=∠ABC,所以∠ABC+∠BCD=180°,所以AB//CD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC=1/2AC,OB=OD=1/2BD.因为OA=OB,所以AC=BD,所以四边形ABCD是矩形.
(2)解:EG+EF=120/13.
(2)解:EG+EF=120/13.
解析
【解析】
（1）证明：
因为$AD// BC$，所以$∠ ADC+∠ BCD=180°$。
又因为$∠ ADC=∠ ABC$，所以$∠ ABC+∠ BCD=180°$，故$AB// CD$，因此四边形$ABCD$是平行四边形。
根据平行四边形的性质，可得$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
已知$OA=OB$，所以$AC=BD$，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可证四边形$ABCD$为矩形。
（2）解：
连接$OE$，在矩形$ABCD$中，$∠ BAD=90°$，由$AD=24$，$AB=10$，根据勾股定理得$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{10^{2}+24^{2}}=26$，则$OA=OD=13$。
矩形$ABCD$的面积为$AB× AD=10×24=240$，所以$△ AOD$的面积为$\frac{1}{4}×240=60$。
因为$S_{△ AOD}=S_{△ AOE}+S_{△ DOE}$，且$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}× OA× EG$，$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}× OD× EF$，$OA=OD=13$，
所以$\frac{1}{2}×13× EG+\frac{1}{2}×13× EF=60$，即$\frac{1}{2}×13×(EG+EF)=60$，解得$EG+EF=\frac{120}{13}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{\frac{120}{13}}$
【知识点】
矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、平行四边形的判定与性质及勾股定理的应用，第一问通过平行四边形的判定结合对角线相等证矩形，第二问利用面积法求线段和，需灵活运用图形面积的不同表示方法。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
因为$AD// BC$，所以$∠ ADC+∠ BCD=180°$。
又因为$∠ ADC=∠ ABC$，所以$∠ ABC+∠ BCD=180°$，故$AB// CD$，因此四边形$ABCD$是平行四边形。
根据平行四边形的性质，可得$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
已知$OA=OB$，所以$AC=BD$，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可证四边形$ABCD$为矩形。
（2）解：
连接$OE$，在矩形$ABCD$中，$∠ BAD=90°$，由$AD=24$，$AB=10$，根据勾股定理得$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{10^{2}+24^{2}}=26$，则$OA=OD=13$。
矩形$ABCD$的面积为$AB× AD=10×24=240$，所以$△ AOD$的面积为$\frac{1}{4}×240=60$。
因为$S_{△ AOD}=S_{△ AOE}+S_{△ DOE}$，且$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}× OA× EG$，$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}× OD× EF$，$OA=OD=13$，
所以$\frac{1}{2}×13× EG+\frac{1}{2}×13× EF=60$，即$\frac{1}{2}×13×(EG+EF)=60$，解得$EG+EF=\frac{120}{13}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{\frac{120}{13}}$
【知识点】
矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、平行四边形的判定与性质及勾股定理的应用，第一问通过平行四边形的判定结合对角线相等证矩形，第二问利用面积法求线段和，需灵活运用图形面积的不同表示方法。
【难度系数】
0.6
