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【例4】如图，在▱ABCD 中，AD = 10，∠ABC 的平分线与 CD 的延长线交于点 E，与 AD 交于点 F，且 F 为边 AD 的中点，∠BAD 的平分线交 BC 于点 M，交 BE 于点 N，连接 AE，FM。
（1）求证：四边形 ABMF 是菱形。
（2）若 AM = 6，求 AE 的长。
（1）求证：四边形 ABMF 是菱形。
（2）若 AM = 6，求 AE 的长。
答案
[例4](1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD//BC,即AF//BM,所以∠DAM=∠AMB.因为∠BAD的平分线交BC于点M,所以∠DAM=∠BAM,所以∠BAM=∠BMA,所以AB=BM.因为BF平分∠ABC,所以同理可得AB=AF,所以AF=BM,所以四边形ABMF是平行四边形.因为AB=AF,所以四边形ABMF是菱形.
(2)解:AE=3√17.
(2)解:AE=3√17.
解析
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即$AF// BM$，
∴ $∠ DAM=∠ AMB$。
∵ $AM$平分$∠ BAD$，
∴ $∠ DAM=∠ BAM$，
∴ $∠ BAM=∠ AMB$，
∴ $AB=BM$。
∵ $BF$平分$∠ ABC$，$AD// BC$，
∴ $∠ ABF=∠ FBC=∠ AFB$，
∴ $AB=AF$，
∴ $AF=BM$，
又
∵ $AF// BM$，
∴ 四边形ABMF是平行四边形。
又
∵ $AB=AF$，
∴ 四边形ABMF是菱形。
（2）解：
∵ 四边形ABMF是菱形，$AM=6$，
∴ $AM⊥ BE$，$AN=MN=3$，$BN=FN$，
∵ F为AD中点，$AD=10$，
∴ $AB=AF=5$。
在$Rt△ ABN$中，由勾股定理得：
$BN=\sqrt{AB^2-AN^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴ $FN=4$。
∵ $AB// CE$，
∴ $∠ E=∠ ABF$，
又
∵ $AF=DF$，$∠ AFB=∠ DFE$，
∴ $△ ABF≌△ DEF$（AAS），
∴ $EF=BF=BN+FN=8$，
∴ $NE=FN+EF=4+8=12$。
在$Rt△ ANE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AN^2+NE^2}=\sqrt{3^2+12^2}=3\sqrt{17}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{3\sqrt{17}}$
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形与菱形的性质和判定，结合勾股定理进行线段计算，需要熟练掌握图形的性质，利用全等三角形转化线段关系是解题关键。
【难度系数】
0.4
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即$AF// BM$，
∴ $∠ DAM=∠ AMB$。
∵ $AM$平分$∠ BAD$，
∴ $∠ DAM=∠ BAM$，
∴ $∠ BAM=∠ AMB$，
∴ $AB=BM$。
∵ $BF$平分$∠ ABC$，$AD// BC$，
∴ $∠ ABF=∠ FBC=∠ AFB$，
∴ $AB=AF$，
∴ $AF=BM$，
又
∵ $AF// BM$，
∴ 四边形ABMF是平行四边形。
又
∵ $AB=AF$，
∴ 四边形ABMF是菱形。
（2）解：
∵ 四边形ABMF是菱形，$AM=6$，
∴ $AM⊥ BE$，$AN=MN=3$，$BN=FN$，
∵ F为AD中点，$AD=10$，
∴ $AB=AF=5$。
在$Rt△ ABN$中，由勾股定理得：
$BN=\sqrt{AB^2-AN^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴ $FN=4$。
∵ $AB// CE$，
∴ $∠ E=∠ ABF$，
又
∵ $AF=DF$，$∠ AFB=∠ DFE$，
∴ $△ ABF≌△ DEF$（AAS），
∴ $EF=BF=BN+FN=8$，
∴ $NE=FN+EF=4+8=12$。
在$Rt△ ANE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AN^2+NE^2}=\sqrt{3^2+12^2}=3\sqrt{17}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{3\sqrt{17}}$
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形与菱形的性质和判定，结合勾股定理进行线段计算，需要熟练掌握图形的性质，利用全等三角形转化线段关系是解题关键。
【难度系数】
0.4
【例5】如图，在矩形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，EF⊥AD 于点 F，DG⊥AE 于点 G，DG 与 EF 交于点 O。
（1）求证：四边形 ABEF 是正方形。
（2）若 AD = AE，求证：AB = AG。
（3）在（2）的条件下，已知 AB = 1，求 OF 的长。
（1）求证：四边形 ABEF 是正方形。
（2）若 AD = AE，求证：AB = AG。
（3）在（2）的条件下，已知 AB = 1，求 OF 的长。
答案
[例5](1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以∠BAF=∠ABE=90°.因为EF⊥AD,所以∠AFE=90°,所以四边形ABEF是矩形.因为AE平分∠BAD,所以EF=EB,所以四边形ABEF是正方形.
(2)证明:因为AE平分∠BAD,所以∠DAG=∠BAE.因为DG⊥AE,所以∠AGD=90°=∠ABE.在△ABE和△AGD中,{∠EAB=∠DAG,∠ABE=∠AGD,AE=AD,所以△ABE≌△AGD(AAS),所以AB=AG.
(3)解:OF=√2-1.
(2)证明:因为AE平分∠BAD,所以∠DAG=∠BAE.因为DG⊥AE,所以∠AGD=90°=∠ABE.在△ABE和△AGD中,{∠EAB=∠DAG,∠ABE=∠AGD,AE=AD,所以△ABE≌△AGD(AAS),所以AB=AG.
(3)解:OF=√2-1.
解析
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAF=∠ABE=90°，
∵ EF⊥AD，
∴ ∠AFE=90°，
∴ 四边形ABEF是矩形，
∵ AE平分∠BAD，根据角平分线的性质得EF=EB，
∴ 四边形ABEF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。
（2）证明：
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠DAG=∠BAE，
∵ DG⊥AE，
∴ ∠AGD=90°=∠ABE，
在△ABE和△AGD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAB=∠DAG\\∠ABE=∠AGD\\AE=AD\end{array} $
∴ △ABE≌△AGD（AAS），
∴ AB=AG。
（3）解：
∵ AB=1，四边形ABEF是正方形，
∴ AF=AB=1，AE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∵ AD=AE=$\sqrt{2}$，
∴ DF=AD - AF=$\sqrt{2}-1$，
由四边形ABEF是正方形，EF⊥AD，DG⊥AE，可证△DFO是等腰直角三角形，
∴ OF=DF=$\sqrt{2}-1$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）证明见上述解析；
（3）$\boldsymbol{OF=\sqrt{2}-1}$
【知识点】
矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关定理，结合图形特征进行推理计算。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAF=∠ABE=90°，
∵ EF⊥AD，
∴ ∠AFE=90°，
∴ 四边形ABEF是矩形，
∵ AE平分∠BAD，根据角平分线的性质得EF=EB，
∴ 四边形ABEF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。
（2）证明：
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠DAG=∠BAE，
∵ DG⊥AE，
∴ ∠AGD=90°=∠ABE，
在△ABE和△AGD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAB=∠DAG\\∠ABE=∠AGD\\AE=AD\end{array} $
∴ △ABE≌△AGD（AAS），
∴ AB=AG。
（3）解：
∵ AB=1，四边形ABEF是正方形，
∴ AF=AB=1，AE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∵ AD=AE=$\sqrt{2}$，
∴ DF=AD - AF=$\sqrt{2}-1$，
由四边形ABEF是正方形，EF⊥AD，DG⊥AE，可证△DFO是等腰直角三角形，
∴ OF=DF=$\sqrt{2}-1$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）证明见上述解析；
（3）$\boldsymbol{OF=\sqrt{2}-1}$
【知识点】
矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关定理，结合图形特征进行推理计算。
【难度系数】
0.6
