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【例6】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 5，BC = 12，平面上有一点 P，连接 AP，BP，已知 AP = 1，取 BP 的中点 G。连接 CG，则在 AP 绕点 A 的旋转过程中，CG 的最大值是(
A.7
B.7.5
C.$\sqrt{42}$
D.14
A
)A.7
B.7.5
C.$\sqrt{42}$
D.14
答案
[例6]A
解析
【解析】
取AB的中点M，连接GM、CM。
1. 计算AB的长度：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
2. 求CM的长度：因为M是AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理，$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5$。
3. 求GM的长度：因为G是BP的中点，M是AB的中点，根据三角形中位线定理，GM是△ABP的中位线，故$GM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×1=0.5$。
4. 分析CG的最大值：根据三角形三边关系，$CG≤ CM+GM$，当C、M、G三点共线时，CG取得最大值，最大值为$6.5+0.5=7$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，三角形三边关系
【点评】
本题通过构造辅助线，结合直角三角形斜边中线性质、三角形中位线定理与三边关系求解线段最大值，考查几何变换中的最值问题，需灵活运用相关定理与辅助线构造方法。
【难度系数】
0.4
取AB的中点M，连接GM、CM。
1. 计算AB的长度：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
2. 求CM的长度：因为M是AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理，$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5$。
3. 求GM的长度：因为G是BP的中点，M是AB的中点，根据三角形中位线定理，GM是△ABP的中位线，故$GM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×1=0.5$。
4. 分析CG的最大值：根据三角形三边关系，$CG≤ CM+GM$，当C、M、G三点共线时，CG取得最大值，最大值为$6.5+0.5=7$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，三角形三边关系
【点评】
本题通过构造辅助线，结合直角三角形斜边中线性质、三角形中位线定理与三边关系求解线段最大值，考查几何变换中的最值问题，需灵活运用相关定理与辅助线构造方法。
【难度系数】
0.4
【例7】在等腰三角形 ABC 中，∠BAC = 80°，AB = AC = 4，CD 平分∠ACB，AE⊥CD 于点 E，过点 E 作 EF//BC，交 AC 于点 F。
（1）求∠AEF 的度数。
（2）若 G 是 BC 的中点，连接 FG，求 FG 的长。
（1）求∠AEF 的度数。
（2）若 G 是 BC 的中点，连接 FG，求 FG 的长。
答案
[例7]解:(1)∠AEF=65°. (2)FG=2.
解析
【解析】
（1）在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，由三角形内角和定理可得∠B=∠ACB=(180°-80°)÷2=50°。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=25°。
∵AE⊥CD，在Rt△AEC中，∠CAE=90°-25°=65°。
∵EF//BC，根据平行线的性质，∠AFE=∠ACB=50°。
在△AEF中，由三角形内角和定理，∠AEF=180°-∠CAE-∠AFE=180°-65°-50°=65°。
（2）延长AE交BC于点H，
∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，根据等腰三角形三线合一，可得AC=CH=4，E为AH的中点。
∵EF//BC，根据三角形中位线的判定，F是AC的中点。
又
∵G是BC的中点，
∴FG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，FG=1/2 AB=1/2×4=2。
【答案】
（1）∠AEF=65°；（2）FG=2
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合运用等腰三角形性质、平行线性质及三角形中位线定理，解题关键是通过辅助线构造等腰三角形，利用三线合一确定中点关系，进而利用中位线定理求解线段长度，对几何性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，由三角形内角和定理可得∠B=∠ACB=(180°-80°)÷2=50°。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=25°。
∵AE⊥CD，在Rt△AEC中，∠CAE=90°-25°=65°。
∵EF//BC，根据平行线的性质，∠AFE=∠ACB=50°。
在△AEF中，由三角形内角和定理，∠AEF=180°-∠CAE-∠AFE=180°-65°-50°=65°。
（2）延长AE交BC于点H，
∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，根据等腰三角形三线合一，可得AC=CH=4，E为AH的中点。
∵EF//BC，根据三角形中位线的判定，F是AC的中点。
又
∵G是BC的中点，
∴FG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，FG=1/2 AB=1/2×4=2。
【答案】
（1）∠AEF=65°；（2）FG=2
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合运用等腰三角形性质、平行线性质及三角形中位线定理，解题关键是通过辅助线构造等腰三角形，利用三线合一确定中点关系，进而利用中位线定理求解线段长度，对几何性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
【例】如图，在矩形 ABCD 中，AD = 4，AB = 6，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 CD，DA 的延长线上的点，且 DE = 3，AF = 2，连接 EF，G 为 EF 的中点，连接 OE，交 AD 于点 H，连接 GH。
（1）判断 H 是不是 OE 的中点，并说明理由。
（2）求 GH 的长。
（1）判断 H 是不是 OE 的中点，并说明理由。
（2）求 GH 的长。
答案
[素养发展]
[例]解:(1)H是OE的中点.理由如下:
如图,取AD的中点N,连接ON.
因为四边形ABCD是矩形,且对角线AC,BD相交于点O,所以BO=DO,AB//CD.因为N是AD的中点,AB=6,所以ON//AB,ON=1/2AB=3,所以ON//CE,∠ANO=∠DAB=90°,所以∠NOH=∠DEH.因为DE=3,所以ON=ED.在△NHO和△DHE中,{∠NOH=∠DEH,∠NHO=∠DHE,ON=ED,所以△NHO≌△DHE(AAS),所以EH=OH,所以H是OE的中点.
(2)GH=5/2.
解析
【解析】
（1）H是OE的中点，理由如下：
取AD的中点N，连接ON。
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴BO=DO，AB//CD。
∵N是AD的中点，AB=6，
∴ON是△ABD的中位线，
∴ON//AB，$ON=\frac{1}{2}AB=3$，
∴ON//CE，∠ONH=∠EDH=90°。
又
∵DE=3，
∴ON=DE。
在△NHO和△DHE中：
$\begin{cases}∠NOH=∠DEH \\∠NHO=∠DHE \\ON=ED\end{cases}$
∴△NHO≌△DHE（AAS），
∴EH=OH，即H是OE的中点。
（2）连接OF，
∵G为EF的中点，H为OE的中点，
∴GH是△OEF的中位线，
∴$GH=\frac{1}{2}OF$。
在矩形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，AD=4，AB=6，
可得O点坐标为(3,2)，F点坐标为(0,-2)（以A为原点，AB为x轴，AD为y轴），
由勾股定理得：$OF=\sqrt{(3-0)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{9+16}=5$，
∴$GH=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）H是OE的中点，理由见解析；
（2）$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理
【点评】
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理的应用，第一问通过构造中位线结合全等三角形证明线段中点，第二问利用三角形中位线定理将GH转化为OF的一半，简化计算，需熟练掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】
0.6
（1）H是OE的中点，理由如下：
取AD的中点N，连接ON。
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴BO=DO，AB//CD。
∵N是AD的中点，AB=6，
∴ON是△ABD的中位线，
∴ON//AB，$ON=\frac{1}{2}AB=3$，
∴ON//CE，∠ONH=∠EDH=90°。
又
∵DE=3，
∴ON=DE。
在△NHO和△DHE中：
$\begin{cases}∠NOH=∠DEH \\∠NHO=∠DHE \\ON=ED\end{cases}$
∴△NHO≌△DHE（AAS），
∴EH=OH，即H是OE的中点。
（2）连接OF，
∵G为EF的中点，H为OE的中点，
∴GH是△OEF的中位线，
∴$GH=\frac{1}{2}OF$。
在矩形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，AD=4，AB=6，
可得O点坐标为(3,2)，F点坐标为(0,-2)（以A为原点，AB为x轴，AD为y轴），
由勾股定理得：$OF=\sqrt{(3-0)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{9+16}=5$，
∴$GH=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）H是OE的中点，理由见解析；
（2）$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理
【点评】
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理的应用，第一问通过构造中位线结合全等三角形证明线段中点，第二问利用三角形中位线定理将GH转化为OF的一半，简化计算，需熟练掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】
0.6
