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3. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$CD$ 上，且 $∠ EAF = 45°$，分别连接 $EF$，$AF$，$AE$.
(1) 为了证明“$EF = BE + DF$”，小明延长 $CB$ 至点 $G$，使 $BG = DF$，连接 $AG$，请在图中画出辅助线，并按小明的思路写出证明过程.
(2) 若正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，$BE = 2$，求 $DF$ 的长.
(1) 为了证明“$EF = BE + DF$”，小明延长 $CB$ 至点 $G$，使 $BG = DF$，连接 $AG$，请在图中画出辅助线，并按小明的思路写出证明过程.
(2) 若正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，$BE = 2$，求 $DF$ 的长.
答案
3.解:(1)所作辅助线如图所示.
证明:因为四边形$ABCD$是正方形,
所以$AB=AD$,$∠ ABE=∠ ADF=90°$,
所以$∠ ABE=∠ ABG=90°$.
在$△ ABG$和$△ ADF$中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ ABG=∠ ADF=90°, \\ BG=DF, \end{cases}$
所以$△ ABG≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$,
所以$∠ BAG=∠ DAF$,$AG=AF$.
因为$∠ EAF=45°$,
所以$∠ GAE=∠ BAG+∠ BAE=∠ DAF+∠ BAE=90°-∠ EAF=45°$.
所以$∠ GAE=∠ EAF$.
在$△ AEF$和$△ AEG$中,
$\begin{cases} AF=AG, \\ ∠ FAE=∠ GAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ AEF≌ △ AEG(\mathrm{SAS})$,
所以$EF=EG$.
因为$EG=BE+BG$,所以$EF=BE+DF$.
(2)$DF=3$.
解析
【解析】
(1) 所作辅助线：延长$CB$至点$G$，使$BG=DF$，连接$AG$（画图略）。
证明过程：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠ ABE=∠ ADF=∠ BAD=90°$，
∴ $∠ ABG=90°=∠ ADF$。
在$△ ABG$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BG=DF \\∠ ABG=∠ ADF \\AB=AD\end{cases}$
∴ $△ ABG≌△ ADF$（$\mathrm{SAS}$），
∴ $AG=AF$，$∠ BAG=∠ DAF$。
∵ $∠ EAF=45°$，
∴ $∠ BAE+∠ DAF=∠ BAD-∠ EAF=45°$，
∴ $∠ BAG+∠ BAE=∠ GAE=45°=∠ EAF$。
在$△ AGE$和$△ AFE$中，
$\begin{cases}AG=AF \\∠ GAE=∠ FAE \\AE=AE\end{cases}$
∴ $△ AGE≌△ AFE$（$\mathrm{SAS}$），
∴ $EG=EF$。
又
∵ $EG=BE+BG=BE+DF$，
∴ $EF=BE+DF$。
(2) 设$DF=x$，则$CF=6-x$，$CE=6-2=4$，$EF=BE+DF=2+x$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，由勾股定理得：$CE^2+CF^2=EF^2$，
即$4^2+(6-x)^2=(2+x)^2$，
展开整理得：$16+36-12x+x^2=4+4x+x^2$，
解得$x=3$，即$DF=3$。
【答案】
(1) 辅助线及证明见解析；(2) $\boldsymbol{DF=3}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题通过构造全等三角形实现线段的转化，综合考查正方形性质、全等三角形判定与性质和勾股定理，转化思想的运用是解题核心。
【难度系数】
0.6
(1) 所作辅助线：延长$CB$至点$G$，使$BG=DF$，连接$AG$（画图略）。
证明过程：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠ ABE=∠ ADF=∠ BAD=90°$，
∴ $∠ ABG=90°=∠ ADF$。
在$△ ABG$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BG=DF \\∠ ABG=∠ ADF \\AB=AD\end{cases}$
∴ $△ ABG≌△ ADF$（$\mathrm{SAS}$），
∴ $AG=AF$，$∠ BAG=∠ DAF$。
∵ $∠ EAF=45°$，
∴ $∠ BAE+∠ DAF=∠ BAD-∠ EAF=45°$，
∴ $∠ BAG+∠ BAE=∠ GAE=45°=∠ EAF$。
在$△ AGE$和$△ AFE$中，
$\begin{cases}AG=AF \\∠ GAE=∠ FAE \\AE=AE\end{cases}$
∴ $△ AGE≌△ AFE$（$\mathrm{SAS}$），
∴ $EG=EF$。
又
∵ $EG=BE+BG=BE+DF$，
∴ $EF=BE+DF$。
(2) 设$DF=x$，则$CF=6-x$，$CE=6-2=4$，$EF=BE+DF=2+x$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，由勾股定理得：$CE^2+CF^2=EF^2$，
即$4^2+(6-x)^2=(2+x)^2$，
展开整理得：$16+36-12x+x^2=4+4x+x^2$，
解得$x=3$，即$DF=3$。
【答案】
(1) 辅助线及证明见解析；(2) $\boldsymbol{DF=3}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题通过构造全等三角形实现线段的转化，综合考查正方形性质、全等三角形判定与性质和勾股定理，转化思想的运用是解题核心。
【难度系数】
0.6
4. 小明将边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$ 与边长为 $2\sqrt{2}$ 的正方形 $AEFG$ 按图①所示的方式放置，$AD$ 与 $AE$ 在同一条直线上，$AB$ 与 $AG$ 在同一条直线上.
(1) 小明发现 $DG⊥ BE$，请你帮他说明理由.
(2) 如图②，小明将正方形 $ABCD$ 绕点 $A$ 按逆时针旋转，当点 $B$ 恰好落在线段 $DG$ 上时，请你帮他求出此时 $BE$ 的长.
(1) 小明发现 $DG⊥ BE$，请你帮他说明理由.
(2) 如图②，小明将正方形 $ABCD$ 绕点 $A$ 按逆时针旋转，当点 $B$ 恰好落在线段 $DG$ 上时，请你帮他求出此时 $BE$ 的长.
答案
4.解:(1)因为四边形$ABCD$和四边形$AEFG$均是正方形,
所以$AD=AB$,$∠ DAG=∠ BAE=90°$,$AG=AE$,
所以$△ ADG≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$,
所以$∠ AGD=∠ AEB$.
如图①,延长$EB$交$DG$于点$H$.
因为$∠ AGD+∠ ADG=90°$,
所以$∠ AEB+∠ ADG=90°$,
所以$∠ DHE=180°-(∠ AEB+∠ ADG)=90°$,所以$DG⊥ BE$.
(2)$BE=\sqrt{2}+\sqrt{6}$
解析
【解析】
(1) 因为四边形$ABCD$和四边形$AEFG$均是正方形，
所以$AD=AB$，$∠ DAG=∠ BAE=90°$，$AG=AE$，
所以$△ ADG≌△ ABE(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ AGD=∠ AEB$。
延长$EB$交$DG$于点$H$，
因为$∠ AGD+∠ ADG=90°$，
所以$∠ AEB+∠ ADG=90°$，
所以$∠ DHE=180°-(∠ AEB+∠ ADG)=90°$，
故$DG⊥ BE$。
(2) ① 由正方形性质可知$AD=AB$，$AG=AE$，$∠ DAG=∠ BAE=90°+∠ BAG$，
所以$△ ADG≌△ ABE(\mathrm{SAS})$，则$DG=BE$。
② 过点$A$作$AM⊥ DG$于点$M$，
因为正方形$ABCD$边长为$2$，所以$AD=2$，$∠ ADM=45°$，
在$Rt△ ADM$中，$AM=DM=\sqrt{2}$。
因为正方形$AEFG$边长为$2\sqrt{2}$，所以$AG=2\sqrt{2}$，
在$Rt△ AMG$中，$MG=\sqrt{AG^2-AM^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$，
所以$DG=DM+MG=\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
故$BE=DG=\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 理由见解析；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形性质、全等三角形判定与性质及勾股定理，利用全等转化线段长度是解题核心。
【难度系数】
0.6
(1) 因为四边形$ABCD$和四边形$AEFG$均是正方形，
所以$AD=AB$，$∠ DAG=∠ BAE=90°$，$AG=AE$，
所以$△ ADG≌△ ABE(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ AGD=∠ AEB$。
延长$EB$交$DG$于点$H$，
因为$∠ AGD+∠ ADG=90°$，
所以$∠ AEB+∠ ADG=90°$，
所以$∠ DHE=180°-(∠ AEB+∠ ADG)=90°$，
故$DG⊥ BE$。
(2) ① 由正方形性质可知$AD=AB$，$AG=AE$，$∠ DAG=∠ BAE=90°+∠ BAG$，
所以$△ ADG≌△ ABE(\mathrm{SAS})$，则$DG=BE$。
② 过点$A$作$AM⊥ DG$于点$M$，
因为正方形$ABCD$边长为$2$，所以$AD=2$，$∠ ADM=45°$，
在$Rt△ ADM$中，$AM=DM=\sqrt{2}$。
因为正方形$AEFG$边长为$2\sqrt{2}$，所以$AG=2\sqrt{2}$，
在$Rt△ AMG$中，$MG=\sqrt{AG^2-AM^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$，
所以$DG=DM+MG=\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
故$BE=DG=\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 理由见解析；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形性质、全等三角形判定与性质及勾股定理，利用全等转化线段长度是解题核心。
【难度系数】
0.6
