21. (本小题10分)如图，在平面直角坐标系中，点$ A(2,m) $在直线$ y = 2x - \frac{5}{2} $上，过点$ A $的直线交$ y $轴于点$ B(0,3) $。
(1)求$ m $的值和直线$ AB $的解析式；
(2)若点$ P(t,y_{1}) $在直线$ AB $上，当$ -2 ≤ t ≤ 4 $时，求$ y_{1} $的最大值；
(3)若点$ N(n,y_{2}) $在直线$ y = 2x - \frac{5}{2} $上，当$ y_{2} ＜ 0 $时，请直接写出$ n $的取值范围。

(1)$m=\frac{3}{2}$，直线$AB$的解析式为$y=-\frac{3}{4}x + 3$；(2)$\frac{9}{2}$；(3)$n＜\frac{5}{4}$。

(1) 将点$A(2,m)$代入$y = 2x - \frac{5}{2}$，得$m=2×2-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，把$A(2,\frac{3}{2})$，$B(0,3)$代入，得$\begin{cases}2k + b=\frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4}\\b = 3\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=-\frac{3}{4}x + 3$。
(2) 因为直线$AB$的解析式为$y=-\frac{3}{4}x + 3$，$k=-\frac{3}{4}＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小。当$-2≤ t≤4$时，$t=-2$时，$y_{1}$最大，$y_{1}=-\frac{3}{4}×(-2)+3=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$。
(3) 由$y_{2}＜0$，得$2n-\frac{5}{2}＜0$，解得$n＜\frac{5}{4}$。