4. 小亮观察旗杆时发现旗杆上的绳子垂放到地面还多 $ 2 \mathrm{ m} $。当把绳子的下端拉开 $ 6 \mathrm{ m} $后，他发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高度是()

A.$ 10 \mathrm{ m} $
B.$ 8 \mathrm{ m} $
C.$ 7 \mathrm{ m} $
D.$ 6 \mathrm{ m} $

B

设旗杆的高度为$x$米，则绳子的长度为$(x + 2)$米。
当把绳子下端拉开$6$米后，绳子、旗杆与地面构成直角三角形，其中旗杆为垂直边，拉开的距离为水平边，绳子为斜边。
根据勾股定理可得：$x^{2} + 6^{2} = (x + 2)^{2}$，
展开并化简得：$x^{2} + 36 = x^{2} + 4x + 4$，
移项可得：$4x = 32$，
解得：$x = 8$。
所以旗杆的高度是$8$米。

5. 如图，将一根长为 $ 8 \mathrm{ cm} $的橡皮筋放置在 $ x $轴上，固定 $ A $，$ B $两端，然后把中点 $ C $向上拉升 $ 3 \mathrm{ cm} $到点 $ D $，则这根橡皮筋被拉长了 $ \mathrm{cm} $。

设右三角形中，$AD = BD$（因为$D$是中点拉高的顶点），
初始长度：$AB = 8 \mathrm{ cm}$，
拉高后，$C$点上升$3 \mathrm{ cm}$到$D$点，
所以$CD = 3 \mathrm{ cm}$，
在直角三角形$ACD$中：
$AC = \frac{AB}{2} = 4 \mathrm{ cm}$，
利用勾股定理：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \mathrm{ cm}$，
因为$AD = BD$，
所以总长度为：
$AD + BD = 5 + 5 = 10 \mathrm{ cm}$，
原长度为$8 \mathrm{ cm}$，所以被拉长的部分为：
$10 \mathrm{ cm} - 8 \mathrm{ cm} = 2 \mathrm{ cm}$。
故答案为：$2 \mathrm{ cm}$。

6. 湖面上有一株红莲，高出水面 $ 1 \mathrm{ m} $，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面。已知这株红莲移动的水平距离为 $ 2 \mathrm{ m} $，则水深 $ \mathrm{m} $。

设水深为$x$米，
由题意得，红莲的总长为$x + 1$米，因为红莲被吹到一边，花朵齐及水面，且红莲移动的水平距离为2米，所以，可以构成直角三角形，其中红莲为斜边，水深与红莲移动的水平距离为两直角边。
根据勾股定理，有：
$x^{2} + 2^{2} = (x + 1)^{2}$
$x^{2} + 4 = x^{2} + 2x + 1$
$2x = 3$
$x = 1.5$
故答案为：1.5。

7. 如图，某自动感应门的正上方 $ A $处装着一个感应器，离地 $ AB = 2.5 \mathrm{ m} $，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一个身高 $ 1.6 \mathrm{ m} $的学生 $ CD $正对门，缓慢走到离门 $ 1.2 \mathrm{ m} $的地方时($ BC = 1.2 \mathrm{ m} $)，感应门自动打开，则 $ AD = $ $ \mathrm{m} $。

在本题中，可通过构建直角三角形，利用勾股定理求出$AD$的长度。
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，则$DE = BC = 1.2\mathrm{m}$，$BE = CD = 1.6\mathrm{m}$。
因为$AB = 2.5\mathrm{m}$，所以$AE=AB - BE=2.5 - 1.6 = 0.9\mathrm{m}$。
在$Rt△ ADE$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a,b$为两直角边）可得：
$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{0.9^{2}+1.2^{2}}=\sqrt{0.81 + 1.44}=\sqrt{2.25}=1.5\mathrm{m}$。
故答案为：$1.5$。

8. 《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺。问折高者几何？意思是一根竹子原来高一丈(丈、尺均为古代的长度单位，一丈 $ = $十尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好碰到地面，现在竹梢在地面上的位置距离竹子底部六尺远。折断处离地面的高度是多少？

设折断处离地面的高度为 $ x $ 尺，则折断部分的长度为 $ (10 - x) $ 尺。
根据勾股定理，得 $ x^2 + 6^2 = (10 - x)^2 $。
展开右边：$ x^2 + 36 = 100 - 20x + x^2 $。
移项化简：$ 20x = 64 $，解得 $ x = \frac{16}{5} = 3.2 $。
答：折断处离地面的高度是 $ \frac{16}{5} $ 尺（或3.2尺）。