9. 如图，在 $ △ ABC $中，$ BC = 4 $，$ AC = 13 $，$ AB = 15 $。求 $ △ ABC $的面积。

解：在△ABC中，BC=4，AC=13，AB=15。
因为 $ BC^2 + AC^2 = 4^2 + 13^2 = 16 + 169 = 185 $，$ AB^2 = 15^2 = 225 $，$ 185 ≠ 225 $，所以△ABC不是直角三角形。
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，设CD=x，则BD=BC+CD=4+x。
在Rt△ABD中，$ AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - (4 + x)^2 $。
在Rt△ACD中，$ AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - x^2 $。
所以 $ 15^2 - (4 + x)^2 = 13^2 - x^2 $
$ 225 - (16 + 8x + x^2) = 169 - x^2 $
$ 225 - 16 - 8x - x^2 = 169 - x^2 $
$ 209 - 8x = 169 $
$ -8x = 169 - 209 $
$ -8x = -40 $
$ x = 5 $
则 $ AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 $，所以AD=12。
△ABC的面积为 $ \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 12 = 24 $。
答：△ABC的面积为24。

10. 学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆 $ AB $的高度，得到如下信息：
① 测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 $ 2 \mathrm{ m} $(如图①)；
② 当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离 $ CD $为 $ 2 \mathrm{ m} $，到旗杆的距离 $ CE $为 $ 10 \mathrm{ m} $(如图②)。
根据以上信息，求旗杆 $ AB $的高度。

设旗杆 $ AB $ 的高度为 $ x \, \mathrm{m} $，则绳子的长度为 $ (x + 2) \, \mathrm{m} $。
由题意知：手到地面的距离 $ CD = 2 \, \mathrm{m} $，手到旗杆的水平距离 $ CE = 10 \, \mathrm{m} $。此时绳子拉直，构成直角三角形 $ AED $（其中 $ E $ 为 $ D $ 在旗杆 $ AB $ 上的垂足），其中：
直角边 $ AE = AB - BE = x - 2 \, \mathrm{m} $（$ BE = CD = 2 \, \mathrm{m} $），
直角边 $ DE = CE = 10 \, \mathrm{m} $，
斜边 $ AD = $ 绳子长度 $ = x + 2 \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理：$ AE^2 + DE^2 = AD^2 $，即：
$(x - 2)^2 + 10^2 = (x + 2)^2$
展开并化简：
$x^2 - 4x + 4 + 100 = x^2 + 4x + 4$
$-8x = -100$
$x = 12.5$
答：旗杆 $ AB $ 的高度为 $ 12.5 \, \mathrm{m} $。

如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 8 $，$ BC = 6 $，$ D $为 $ AC $上一点。若 $ BD $是 $ ∠ ABC $的平分线，求线段 $ AD $的长。

5

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²=8²+6²=100，∴AB=10。
∵BD是∠ABC的平分线，交AC于D，根据角平分线定理：AD/DC=AB/BC。
∵AB=10，BC=6，∴AD/DC=10/6=5/3。
设AD=5x，DC=3x，∵AD+DC=AC=8，∴5x+3x=8，解得x=1。
∴AD=5x=5。