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1. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$AB = 12$，则$AC$的长为()
A.$6$
B.$6\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
A.$6$
B.$6\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
D
解析
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$∠A=30^{\circ}$，$AB=12$。
因为直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边是斜边的一半，所以$BC=\frac{1}{2}AB=6$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}}=\sqrt{144 - 36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
因为直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边是斜边的一半，所以$BC=\frac{1}{2}AB=6$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}}=\sqrt{144 - 36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
2. 在$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，则$△ ABC$的面积是()
A.$6$
B.$12$
C.$18$
D.$24$
A.$6$
B.$12$
C.$18$
D.$24$
答案
B
解析
作$AD ⊥ BC$于点$D$，由于$AB = AC$，根据等腰三角形的性质，$D$为$BC$中点，所以$BD = \frac{BC}{2} = 3$。
在直角三角形$ABD$中，利用勾股定理，$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$。
三角形$ABC$的面积$S = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
在直角三角形$ABD$中，利用勾股定理，$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$。
三角形$ABC$的面积$S = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
3. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：如图，首先画数轴，原点为$O$，在数轴上找到表示数$2$的点$A$，然后过点$A$作$AB⊥ OA$，使$AB = 3$，连接$OB$。以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，交数轴正半轴于点$P$，则点$P$表示的数在()
A.$1$和$2$之间
B.$2$和$3$之间
C.$3$和$4$之间
D.$4$和$5$之间
A.$1$和$2$之间
B.$2$和$3$之间
C.$3$和$4$之间
D.$4$和$5$之间
答案
C
解析
在Rt△OAB中，OA=2，AB=3，由勾股定理得OB²=OA²+AB²=2²+3²=4+9=13，所以OB=√13。因为9＜13＜16，所以3＜√13＜4，故点P表示的数√13在3和4之间。
