4. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 15$，$BD⊥ AC$，垂足为$D$。若$DC = 3$，则底边$BC$的长为()


A.$9$
B.$12$
C.$3\sqrt{10}$
D.$6\sqrt{2}$

C

∵AC=15，DC=3，
∴AD=AC-DC=15-3=12。
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°。
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，
由勾股定理得：BD²=AB²-AD²=15²-12²=225-144=81，
∴BD=9。
在Rt△CBD中，DC=3，BD=9，
由勾股定理得：BC²=BD²+DC²=9²+3²=81+9=90，
∴BC=√90=3√10。

5. 在平面直角坐标系中，点$P(-2,3)$到原点的距离是。

设点$P(-2,3)$，原点为$O(0,0)$。
根据两点间距离公式，$OP = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$。
将点$P$和原点$O$的坐标代入公式，得$OP = \sqrt{(-2 - 0)^{2} + (3 - 0)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$。
故答案为：$\sqrt{13}$。

6. 一艘船先由$A$港沿北偏东$60^{\circ}$方向航行$30$km 至$B$港，再由$B$港沿北偏西$30^{\circ}$方向航行$40$km 至$C$港，则$A$，$C$两港之间的距离为km。

50

解：
1. 确定∠ABC的度数：
船从A到B沿北偏东60°，从B到C沿北偏西30°。在B港，正北方向为基准，AB与正北方向夹角60°（东偏），BC与正北方向夹角30°（西偏），故∠ABC=60°+30°=90°。
2. 应用勾股定理求AC：
在Rt△ABC中，AB=30km，BC=40km，∠B=90°，则
$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, \mathrm{km} $。

7. 如图，长方体的底面是边长为$2$cm 的正方形，高为$6$cm。如果从点$A$开始用细线经过$4$个侧面缠绕$2$圈到达点$B$，那么所用细线最短需要cm。

要解决长方体侧面缠绕细线的最短路径问题，需将长方体侧面展开为平面图形，利用勾股定理计算对角线长度。
1. 确定长方体参数：底面为边长2cm的正方形，底面周长为$4 × 2 = 8\,\mathrm{cm}$，高为6cm。
2. 展开侧面：缠绕2圈，展开后的平面图形为长方形，长为底面周长的2倍，即$2 × 8 = 16\,\mathrm{cm}$，宽为长方体的高6cm。
3. 计算最短路径：展开后长方形的对角线即为最短细线长度，由勾股定理得：
$\sqrt{16^2 + 6^2} = \sqrt{256 + 36} = \sqrt{292} = 2\sqrt{73}\,\mathrm{cm}$
$2\sqrt{73}$

8. 在数轴上画出表示$\pm\sqrt{10}$的点。

1. 在数轴上找到表示3的点A，过点A作数轴的垂线AB，使AB=1。
2. 连接原点O与点B，由勾股定理得OB=$\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。
3. 以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，点C表示$\sqrt{10}$；交数轴负半轴于点D，点D表示$-\sqrt{10}$。