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10. 当$y = - 3$时,关于$x,y$的二元一次方程$3x + 5y = - 3$和$3y - 2kx = k + 2$有相同的解,则$k$的值是.
答案
当$y = -3$时，代入方程$3x + 5y = -3$，得：
$\begin{aligned}3x + 5×(-3) &= -3 \\3x - 15 &= -3 \\3x &= 12 \\x &= 4\end{aligned}$
因为两个方程有相同的解，所以$x = 4$，$y = -3$也是方程$3y - 2kx = k + 2$的解，代入得：
$\begin{aligned}3×(-3) - 2k×4 &= k + 2 \\-9 - 8k &= k + 2 \\-8k - k &= 2 + 9 \\-9k &= 11 \\k &= -\frac{11}{9}\end{aligned}$
$-\dfrac{11}{9}$
$\begin{aligned}3x + 5×(-3) &= -3 \\3x - 15 &= -3 \\3x &= 12 \\x &= 4\end{aligned}$
因为两个方程有相同的解，所以$x = 4$，$y = -3$也是方程$3y - 2kx = k + 2$的解，代入得：
$\begin{aligned}3×(-3) - 2k×4 &= k + 2 \\-9 - 8k &= k + 2 \\-8k - k &= 2 + 9 \\-9k &= 11 \\k &= -\frac{11}{9}\end{aligned}$
$-\dfrac{11}{9}$
11. 如果$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$是方程$2ax + by = 13$的解,$a,b$是正整数,那么$a + b$的最小值是 ______ .
答案
因为$\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases}$是方程$2ax + by = 13$的解，
所以将解代入方程可得：$4a + b = 13$，
即$b = 13 - 4a$，
因为$a$，$b$是正整数，
所以$a ＞ 0$，$13 - 4a ＞ 0$，
解得$0 ＜ a ＜ \frac{13}{4}$，
因为$a$为正整数，
所以$a = 1$，$2$，$3$，
当$a = 1$时，$b = 13 - 4× 1 = 9$，$a + b = 1 + 9 = 10$；
当$a = 2$时，$b = 13 - 4× 2 = 5$，$a + b = 2 + 5 = 7$；
当$a = 3$时，$b = 13 - 4× 3 = 1$，$a + b = 3 + 1 = 4$；
因为$4＜7＜10$，
所以$a + b$的最小值是$4$。
故答案为$4$。
所以将解代入方程可得：$4a + b = 13$，
即$b = 13 - 4a$，
因为$a$，$b$是正整数，
所以$a ＞ 0$，$13 - 4a ＞ 0$，
解得$0 ＜ a ＜ \frac{13}{4}$，
因为$a$为正整数，
所以$a = 1$，$2$，$3$，
当$a = 1$时，$b = 13 - 4× 1 = 9$，$a + b = 1 + 9 = 10$；
当$a = 2$时，$b = 13 - 4× 2 = 5$，$a + b = 2 + 5 = 7$；
当$a = 3$时，$b = 13 - 4× 3 = 1$，$a + b = 3 + 1 = 4$；
因为$4＜7＜10$，
所以$a + b$的最小值是$4$。
故答案为$4$。
12. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x + 4y = 20,\\mx + ny = 1\end{cases}$与$\begin{cases}2x - y = 5,\\nx + my = 6\end{cases}$有相同的解,则$m + n=$ ______ .
答案
1. 联立不含$m,n$的方程：$\begin{cases}2x + 4y = 20 \\ 2x - y = 5\end{cases}$
2. （1）式减（2）式：$5y = 15$，解得$y = 3$
3. 将$y = 3$代入（2）式：$2x - 3 = 5$，解得$x = 4$，故相同解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 3\end{cases}$
4. 代入含$m,n$的方程：$\begin{cases}4m + 3n = 1 \\ 4n + 3m = 6\end{cases}$
5. 两式相加：$7m + 7n = 7$，即$m + n = 1$
1
2. （1）式减（2）式：$5y = 15$，解得$y = 3$
3. 将$y = 3$代入（2）式：$2x - 3 = 5$，解得$x = 4$，故相同解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 3\end{cases}$
4. 代入含$m,n$的方程：$\begin{cases}4m + 3n = 1 \\ 4n + 3m = 6\end{cases}$
5. 两式相加：$7m + 7n = 7$，即$m + n = 1$
1
13. 为了节能减排,某公交公司计划购买A型和B型两种新能源公交车.若购买1辆A型公交车和2辆B型公交车,则需花费260万元;若购买2辆A型公交车和1辆B型公交车,则需花费280万元.根据题意,列出二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = 260,\\2x + y = 280.\end{cases}$若对该方程组进行变形可得到方程$x - y = 20$,则“$x - y = 20$”的含义是 ______ .
答案
一辆A型公交车比一辆B型公交车贵20万元.
14. 如图,长方形$ABCD$中放有6个形状、大小相同的长方形(空白区域),图中阴影部分的面积为$\mathrm{cm}^2$.
答案
设小长方形的长为$x\,\mathrm{cm}$，宽为$y\,\mathrm{cm}$。
根据图形关系可得方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 16 \\x = 2y + 8\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程：
$2y + 8 + 2y = 16$
$4y = 8 \implies y = 2$
代入$x = 2y + 8$，得$x = 2×2 + 8 = 12$。
大长方形的长为$16\,\mathrm{cm}$，宽为$x + y = 12 + 2 = 14\,\mathrm{cm}$。
大长方形面积：$16×14 = 224\,\mathrm{cm}^2$。
6个小长方形面积：$6× x× y = 6×12×2 = 144\,\mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积：$224 - 144 = 80\,\mathrm{cm}^2$。
80
根据图形关系可得方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 16 \\x = 2y + 8\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程：
$2y + 8 + 2y = 16$
$4y = 8 \implies y = 2$
代入$x = 2y + 8$，得$x = 2×2 + 8 = 12$。
大长方形的长为$16\,\mathrm{cm}$，宽为$x + y = 12 + 2 = 14\,\mathrm{cm}$。
大长方形面积：$16×14 = 224\,\mathrm{cm}^2$。
6个小长方形面积：$6× x× y = 6×12×2 = 144\,\mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积：$224 - 144 = 80\,\mathrm{cm}^2$。
80
三、解答题(本题共 7 小题,共 66 分)
15. (本小题 10 分)解方程组.
(1) $\begin{cases}2x - y = 7,\\3x + 2y = 0;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x + y = 5,\frac{x - 1}{2} + \frac{y}{3} = 2.\end{cases}$
15. (本小题 10 分)解方程组.
(1) $\begin{cases}2x - y = 7,\\3x + 2y = 0;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x + y = 5,\frac{x - 1}{2} + \frac{y}{3} = 2.\end{cases}$
答案
(1)$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$；(2)$\begin{cases}x=-1\\y=9\end{cases}$
解析
(1) $\begin{cases}2x - y = 7,①\\3x + 2y = 0;②\end{cases}$
由①得$y=2x-7$，③
将③代入②得$3x+2(2x-7)=0$，
$3x+4x-14=0$，$7x=14$，$x=2$，
将$x=2$代入③得$y=4-7=-3$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$。
(2) $\begin{cases}4x + y = 5,①\\frac{x - 1}{2} + \frac{y}{3} = 2.②\end{cases}$
②×6得$3(x-1)+2y=12$，$3x-3+2y=12$，$3x+2y=15$，③
①×2得$8x+2y=10$，④
④-③得$5x=-5$，$x=-1$，
将$x=-1$代入①得$-4 + y=5$，$y=9$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=9\end{cases}$。
由①得$y=2x-7$，③
将③代入②得$3x+2(2x-7)=0$，
$3x+4x-14=0$，$7x=14$，$x=2$，
将$x=2$代入③得$y=4-7=-3$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$。
(2) $\begin{cases}4x + y = 5,①\\frac{x - 1}{2} + \frac{y}{3} = 2.②\end{cases}$
②×6得$3(x-1)+2y=12$，$3x-3+2y=12$，$3x+2y=15$，③
①×2得$8x+2y=10$，④
④-③得$5x=-5$，$x=-1$，
将$x=-1$代入①得$-4 + y=5$，$y=9$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=9\end{cases}$。
