4. 已知$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}mx + ny = 7,\\nx - my = 2\end{cases}$的解,则$\sqrt{m + 3n}$的值是( )

A.$\sqrt{5}$
B.3
C.5
D.9

B

将$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$代入方程组得：$\begin{cases}2m + n = 7 \\2n - m = 2 \end{cases}$，解方程组得$\begin{cases}m = 2 \\n = 3 \end{cases}$，则$\sqrt{m + 3n}=\sqrt{2 + 9}=\sqrt{11}$（此处原解析有误，正确计算应为：$m + 3n = 2 + 3×3 = 11$，但选项中无$\sqrt{11}$，经检查发现代入方程组时第二个方程应为$2n - m = 2$，解方程组：由第一个方程得$n = 7 - 2m$，代入第二个方程$2(7 - 2m) - m = 2$，$14 - 4m - m = 2$，$-5m = -12$，$m = \frac{12}{5}$，$n = 7 - 2×\frac{12}{5} = \frac{35}{5} - \frac{24}{5} = \frac{11}{5}$，则$m + 3n = \frac{12}{5} + 3×\frac{11}{5} = \frac{12 + 33}{5} = 9$，所以$\sqrt{m + 3n} = 3$）

5. 小明的妈妈让小明到药店购买口罩和酒精湿巾,已知口罩每包3元,酒精湿巾每包2元.若小明带了30元钱(钱都要用完且两种物品都买),则小明的购买方案共有()

A.3种
B.4种
C.5种
D.6种

B

设购买口罩$x$包，酒精湿巾$y$包，根据题意得$3x + 2y = 30$，且$x$、$y$为正整数。整理得$y = \frac{30 - 3x}{2} = 15 - \frac{3x}{2}$，所以$x$必须为偶数。当$x=2$时，$y=12$；$x=4$时，$y=9$；$x=6$时，$y=6$；$x=8$时，$y=3$；$x=10$时，$y=0$（不符合两种物品都买，舍去）。故共有4种方案。

6. 如下表,从左到右在每个格子中填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,则第2023个格子中的数是()


A.2
B.$-3$
C.0
D.1

A

设格子中的数依次为$n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,···$，由任意三个相邻格子数之和相等得：$n_1+n_2+n_3=n_2+n_3+n_4⇒ n_1=n_4$；$n_2+n_3+n_4=n_3+n_4+n_5⇒ n_2=n_5$，故周期为3，即$n_1=n_4=n_7=···$，$n_2=n_5=n_8=···$，$n_3=n_6=n_9=···$。
已知$n_1=2$，$n_5=-3$，则$n_2=n_5=-3$（即$a=-3$），$n_4=n_1=2$（即$c=2$）。设周期为$2,-3,b$，因后续有“1”，故$b=1$，周期为$2,-3,1$。
$2023÷3=674······1$，余数为1，对应周期第一个数2。

7. 定义一种运算“$\odot$”,规定$x\odot y = ax - by$,其中$a,b$为常数,且$2\odot3 = 6,3\odot2 = 8$,则$a + b$的值是()

A.2
B.$-2$
C.$\frac{16}{3}$
D.4

A

由题意得：$\begin{cases}2a - 3b = 6 \\ 3a - 2b = 8\end{cases}$，
将第一个方程乘以2得：$4a - 6b = 12$，
将第二个方程乘以3得：$9a - 6b = 24$，
两式相减得：$5a = 12$，解得$a = \frac{12}{5}$，
将$a = \frac{12}{5}$代入$2a - 3b = 6$得：$2×\frac{12}{5} - 3b = 6$，
$\frac{24}{5} - 3b = 6$，$-3b = 6 - \frac{24}{5} = \frac{6}{5}$，$b = -\frac{2}{5}$，
所以$a + b = \frac{12}{5} - \frac{2}{5} = 2$。

8. 已知关于$x,y$的二元一次方程$y = kx - 2k + 3$,当$k$取一个确定的值时就得到一个方程,所有这些方程有一个公共解,则这个公共解是()

A.$\begin{cases}x = 3,\\y = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = - 1\end{cases}$

B

由题意，方程$y=kx-2k+3$可整理为：$y=k(x - 2)+3$，
因为对于任意$k$值，方程都有公共解，即该解与$k$的取值无关，
所以令$x - 2 = 0$，即$x = 2$，
此时$y=3$，所以公共解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$。

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
9. 若$\begin{cases}x = m,\\y = n\end{cases}$是方程$3x + 2y - 4 = 0$的解,则代数式$9m + 6n - 9$的值是 ______ .

由题意知，$\begin{cases}x = m, \\y = n\end{cases}$是方程$3x + 2y - 4 = 0$的解，所以代入得：
$3m + 2n - 4 = 0$，
从上式可以解出：
$3m + 2n = 4$，
接下来，要求代数式$9m + 6n - 9$的值。
根据上面得到的$3m + 2n = 4$，代入得：
$9m + 6n - 9 = 3(3m + 2n) - 9$
$= 3 × 4 - 9$
$= 12 - 9$
$= 3$
故答案为：3。