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1. 下列函数中，是正比例函数的是 ()
A.$ y = π r ^ { 2 } $
B.$ y = \frac { 6 } { x } $
C.$ y = - \frac { x } { 3 } $
D.$ y = 2 ( x + 3 ) $
A.$ y = π r ^ { 2 } $
B.$ y = \frac { 6 } { x } $
C.$ y = - \frac { x } { 3 } $
D.$ y = 2 ( x + 3 ) $
答案
C
解析
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）。
选项A：$y = π r ^ { 2 }$，自变量$r$的次数是2，是二次函数，不是正比例函数。
选项B：$y = \frac { 6 } { x }$，是反比例函数，不是正比例函数。
选项C：$y = - \frac { x } { 3 }$，可变形为$y=-\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$的形式，其中$k=-\frac{1}{3}$，是正比例函数。
选项D：$y = 2 ( x + 3 )=2x + 6$，是一次函数，但不是正比例函数（常数项不为0）。
综上，是正比例函数的是选项C。
选项A：$y = π r ^ { 2 }$，自变量$r$的次数是2，是二次函数，不是正比例函数。
选项B：$y = \frac { 6 } { x }$，是反比例函数，不是正比例函数。
选项C：$y = - \frac { x } { 3 }$，可变形为$y=-\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$的形式，其中$k=-\frac{1}{3}$，是正比例函数。
选项D：$y = 2 ( x + 3 )=2x + 6$，是一次函数，但不是正比例函数（常数项不为0）。
综上，是正比例函数的是选项C。
2. 下列问题中，变量 $ y $ 与 $ x $ 成一次函数关系的是 ()
A.路程一定时，时间 $ y $ 和速度 $ x $ 的关系
B.圆的面积 $ y $ 与它的半径 $ x $
C.斜边长为 $ 5 $ 的直角三角形的直角边长 $ y $ 和 $ x $
D.用一根 $ 10 \mathrm { m } $ 长的铁丝折成长为 $ y \mathrm { m } $、宽为 $ x \mathrm { m } $ 的长方形
A.路程一定时，时间 $ y $ 和速度 $ x $ 的关系
B.圆的面积 $ y $ 与它的半径 $ x $
C.斜边长为 $ 5 $ 的直角三角形的直角边长 $ y $ 和 $ x $
D.用一根 $ 10 \mathrm { m } $ 长的铁丝折成长为 $ y \mathrm { m } $、宽为 $ x \mathrm { m } $ 的长方形
答案
D
解析
A.路程一定时，时间$y$和速度$x$的关系为$y = \frac{s}{x}$（$s$为常数），是反比例函数，不是一次函数；
B.圆的面积$y$与半径$x$的关系为$y=π x^{2}$，是二次函数，不是一次函数；
C.斜边长为5的直角三角形，由勾股定理得$x^{2}+y^{2}=25$，不是一次函数；
D.长方形周长为10m，可得$2(x + y)=10$，化简为$y=-x + 5$，符合一次函数$y=kx + b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的形式，是一次函数。
B.圆的面积$y$与半径$x$的关系为$y=π x^{2}$，是二次函数，不是一次函数；
C.斜边长为5的直角三角形，由勾股定理得$x^{2}+y^{2}=25$，不是一次函数；
D.长方形周长为10m，可得$2(x + y)=10$，化简为$y=-x + 5$，符合一次函数$y=kx + b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的形式，是一次函数。
3. 下列说法中，错误的是 ()
A.$ y = - 24 x $ 是正比例函数，也是一次函数
B.$ y = 5 π $ 是一次函数，也是正比例函数
C.商品的单价一定，总金额与商品数量成正比
D.如果 $ y = ( m ^ { 2 } - 4 ) x + 9 $ 是关于 $ x $ 的一次函数，那么 $ m ≠ \pm 2 $
A.$ y = - 24 x $ 是正比例函数，也是一次函数
B.$ y = 5 π $ 是一次函数，也是正比例函数
C.商品的单价一定，总金额与商品数量成正比
D.如果 $ y = ( m ^ { 2 } - 4 ) x + 9 $ 是关于 $ x $ 的一次函数，那么 $ m ≠ \pm 2 $
答案
B
解析
A. $y = -24x$ 的形式符合正比例函数 $y = kx$（$k$ 为常数）的定义，同时也满足一次函数 $y = kx + b$（$b = 0$）的形式，所以是正比例函数也是一次函数，该选项正确。
B. $y = 5π$ 是常数函数，不满足一次函数 $y = kx + b$（$k≠0$）的形式，所以不是一次函数，也不是正比例函数，该选项错误。
C. 设商品单价为 $a$，总金额为 $y$，商品数量为 $x$，则 $y = ax$（$a$ 为常数），符合正比例函数形式，所以总金额与商品数量成正比，该选项正确。
D. 若 $y=(m^{2}-4)x + 9$ 是一次函数，则一次项系数 $m^{2}-4≠0$，即 $m≠\pm2$，该选项正确。
B. $y = 5π$ 是常数函数，不满足一次函数 $y = kx + b$（$k≠0$）的形式，所以不是一次函数，也不是正比例函数，该选项错误。
C. 设商品单价为 $a$，总金额为 $y$，商品数量为 $x$，则 $y = ax$（$a$ 为常数），符合正比例函数形式，所以总金额与商品数量成正比，该选项正确。
D. 若 $y=(m^{2}-4)x + 9$ 是一次函数，则一次项系数 $m^{2}-4≠0$，即 $m≠\pm2$，该选项正确。
4. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = ( m - 1 ) x ^ { | m | } + 2 $ 是一次函数，则 $ m $ 的值为.
答案
$-1$
解析
要使函数 $ y = (m - 1)x^{|m|} + 2 $ 是一次函数，需满足以下条件：
1. 自变量 $ x $ 的次数为 1：
$ |m| = 1 $，解得 $ m = 1 $ 或 $ m = -1 $。
2. 一次项系数不为 0：
$ m - 1 ≠ 0 $，即 $ m ≠ 1 $。
综合以上条件，$ m = -1 $。
1. 自变量 $ x $ 的次数为 1：
$ |m| = 1 $，解得 $ m = 1 $ 或 $ m = -1 $。
2. 一次项系数不为 0：
$ m - 1 ≠ 0 $，即 $ m ≠ 1 $。
综合以上条件，$ m = -1 $。
5. 某水池有水 $ 60 \mathrm { m } ^ { 3 } $，现在打开放水管开始放水，放水速度为 $ 5 \mathrm { m } ^ { 3 } / \mathrm { h } $，将水放空为止.设 $ x \mathrm { h } $ 后水池有水 $ y \mathrm { m } ^ { 3 } $，则 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式为，$ x $ 的取值范围是.
答案
$y = 60 - 5x$
$0 ≤ x ≤ 12$
$0 ≤ x ≤ 12$
6. 商品的销售量受销售价格的影响.当某衬衣定价为 $ 100 $ 元/件时，每月可卖出 $ 1000 $ 件.若每件价格每上涨 $ 10 $ 元，销售量便减少 $ 20 $ 件，则每月售出衬衣的总数 $ y $(单位：件)与衬衣价格 $ x $(单位：元/件)之间的函数解析式是.
答案
设衬衣价格为$x$元/件，其中涨价的部分为$(x - 100)$元。
每上涨$10$元，销售量减少$20$件，所以销售量减少的件数为$\frac{x - 100}{10} × 20 = 2(x - 100)$（件）。
当衬衣定价为$100$元/件时，每月可卖出$1000$件，所以每月售出衬衣的总数$y$（件）与衬衣价格$x$（元/件）之间的函数解析式为：
$y = 1000 - 2(x - 100) = -2x + 1200$。
由于销售量不能为负，所以还应满足：
$x ≥ 100$，
$1000 - 2(x - 100) ≥ 0$，
即，
$1000 - 2x + 200 ≥ 0$，
$1200 - 2x ≥ 0$，
$2x ≤ 1200$，
$x ≤ 600$。
综上，每月售出衬衣的总数$y$（件）与每件衬衣价格$x$（元/件）之间的函数解析式为：
$y = -2x + 120 \ (（100 ≤ x ≤ 600）$。
故答案为：$y = -2x + 1200 (100 ≤ x ≤ 600)$。
每上涨$10$元，销售量减少$20$件，所以销售量减少的件数为$\frac{x - 100}{10} × 20 = 2(x - 100)$（件）。
当衬衣定价为$100$元/件时，每月可卖出$1000$件，所以每月售出衬衣的总数$y$（件）与衬衣价格$x$（元/件）之间的函数解析式为：
$y = 1000 - 2(x - 100) = -2x + 1200$。
由于销售量不能为负，所以还应满足：
$x ≥ 100$，
$1000 - 2(x - 100) ≥ 0$，
即，
$1000 - 2x + 200 ≥ 0$，
$1200 - 2x ≥ 0$，
$2x ≤ 1200$，
$x ≤ 600$。
综上，每月售出衬衣的总数$y$（件）与每件衬衣价格$x$（元/件）之间的函数解析式为：
$y = -2x + 120 \ (（100 ≤ x ≤ 600）$。
故答案为：$y = -2x + 1200 (100 ≤ x ≤ 600)$。
