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1. 填空。
(1) 计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$时，我们可以借助画图法，把正方形看作单位“1”。把算式中的加数填入图中。从图①中可以看出，涂色部分是大正方形的( )，即算式的结果是( )。
(2) 计算$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}$时，我们也可以借助画图法算出结果，请在图②中继续画下去，算出结果是( )。
(1) 计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$时，我们可以借助画图法，把正方形看作单位“1”。把算式中的加数填入图中。从图①中可以看出，涂色部分是大正方形的( )，即算式的结果是( )。
(2) 计算$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}$时，我们也可以借助画图法算出结果，请在图②中继续画下去，算出结果是( )。
答案
(1)
$\frac{31}{32}$ $\frac{31}{32}$
$\frac{(1)}{(2)}$ $\frac{(1)}{(4)}$ $\frac{(1)}{(16)}$ $\frac{(1)}{(8)}$ $\frac{(1)}{(32)}$
(2)
(画法不唯一) $\frac{5}{8}$
$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{24}$
2. 有一堆钢管，最上层有4根，最底层有17根（每相邻两层之间相差1根），这堆钢管一共有多少根？
答案
$(4 + 17)\times(17 - 4 + 1)\div2 = 147$(根)
答：这堆钢管一共有147根。
答：这堆钢管一共有147根。
3. 16支球队参加比赛，如果比赛以单场淘汰制进行，那么要进行多少场比赛才能产生冠军？如果有64支球队参加比赛，产生冠军共需比赛多少场？
答案
$8 + 4 + 2 + 1 = 15$(场) $32 + 16 + 15 = 63$(场)
答：16支球队参加比赛，那么要进行15场比赛才能产生冠军；如果有64支球队参加比赛，那么产生冠军共需比赛63场。
答：16支球队参加比赛，那么要进行15场比赛才能产生冠军；如果有64支球队参加比赛，那么产生冠军共需比赛63场。
4. 观察下面各式，找出规律再计算。
$1 = 1^{2}$ $1 + 3 = ( ) = ( )^{2}$
$1 + 3 + 5 = ( ) = ( )^{2}$ $1 + 3 + 5 + 7 = ( ) = ( )^{2}$
计算：$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 99$。
$1 = 1^{2}$ $1 + 3 = ( ) = ( )^{2}$
$1 + 3 + 5 = ( ) = ( )^{2}$ $1 + 3 + 5 + 7 = ( ) = ( )^{2}$
计算：$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 99$。
答案
4 2 9 3 16 4 原式$= 50^{2}= 2500$
5. 新素养 推理意识 观察下面各式：
$2^{2}-1^{2}=2 + 1$，$4^{2}-3^{2}=4 + 3$，$6^{2}-5^{2}=6 + 5\cdots\cdots$
(1) 请你根据其中的规律再写一道这样的等式：__________________。
(2) 计算：$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\cdots+2^{2}-1^{2}$。
$2^{2}-1^{2}=2 + 1$，$4^{2}-3^{2}=4 + 3$，$6^{2}-5^{2}=6 + 5\cdots\cdots$
(1) 请你根据其中的规律再写一道这样的等式：__________________。
(2) 计算：$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\cdots+2^{2}-1^{2}$。
答案
(1)$7^{2}-6^{2}=7 + 6$(答案不唯一)
(2)原式$= 100 + 99 + 98 + 97+\cdots+2 + 1=(100 + 1)\times100\div2 = 5050$。
(2)原式$= 100 + 99 + 98 + 97+\cdots+2 + 1=(100 + 1)\times100\div2 = 5050$。
6. (1) 观察表格，把下面的等式补充完整。
①$2 = 1\times2$，②$2 + 4 = 2\times3$，③$2 + 4 + 6 = 3\times4$，
④$2 + 4 + 6 + 8 = ( )\times( )$。
(2) 若按此规律继续摆放，则第( )个图形共有156个小圆片；第$n$个图形共有( )个小圆片。
①$2 = 1\times2$，②$2 + 4 = 2\times3$，③$2 + 4 + 6 = 3\times4$，
④$2 + 4 + 6 + 8 = ( )\times( )$。
(2) 若按此规律继续摆放，则第( )个图形共有156个小圆片；第$n$个图形共有( )个小圆片。
答案
(1)4 5 (2)12 $n(n + 1)$ 提示：(1)由前几个等式知，第④个等式应该填$4\times5$。(2)将156分解为两个数相乘，且这两个数是相邻的自然数，$156 = 12\times13$。观察等式可知，第$n$个图形共有$n(n + 1)$个小圆片。
7. 计算：$\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}+\frac{1}{40}+\frac{1}{80}+\frac{1}{160}$。
答案
$\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}+\frac{1}{40}+\frac{1}{80}+\frac{1}{160}=\frac{2}{5}-\frac{1}{160}=\frac{63}{160}$
提示：根据分数的特点，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，所以有$\frac{1}{10}=\frac{1}{5}-\frac{1}{10}$、$\frac{1}{20}=\frac{1}{10}-\frac{1}{20}$、$\frac{1}{40}=\frac{1}{20}-\frac{1}{40}$，以此类推，通过分数加减相互抵消，即可求解。
提示：根据分数的特点，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，所以有$\frac{1}{10}=\frac{1}{5}-\frac{1}{10}$、$\frac{1}{20}=\frac{1}{10}-\frac{1}{20}$、$\frac{1}{40}=\frac{1}{20}-\frac{1}{40}$，以此类推，通过分数加减相互抵消，即可求解。
