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例 1 从一个多边形的一个顶点出发画了 6 条对角线，则这个多边形共有条对角线.
【思路导析】$n$边形从一个顶点出发可引出$(n - 3)$条对角线，$n$边形对角线的总条数为$\frac{n(n - 3)}{2}$.
【请你解答】.
【思路导析】$n$边形从一个顶点出发可引出$(n - 3)$条对角线，$n$边形对角线的总条数为$\frac{n(n - 3)}{2}$.
【请你解答】.
答案
27
解析
设多边形的边数为$n$，从一个顶点出发可引出$(n - 3)$条对角线，已知引出$6$条对角线，所以$n - 3 = 6$，解得$n = 9$。$n$边形对角线总条数为$\frac{n(n - 3)}{2}$，将$n = 9$代入，得$\frac{9×(9 - 3)}{2} = 27$。
例 2 若一个多边形的每个内角都是$135^{\circ}$，则该多边形为()
A.四边形
B.六边形
C.七边形
D.八边形
【思路导析】设这个多边形的边数为$n$，根据$n$边形内角和为$180^{\circ}·(n - 2)$列出方程求解.
【请你解答】.
A.四边形
B.六边形
C.七边形
D.八边形
【思路导析】设这个多边形的边数为$n$，根据$n$边形内角和为$180^{\circ}·(n - 2)$列出方程求解.
【请你解答】.
答案
D
解析
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式，内角和为$180^{\circ} · (n - 2)$。
每个内角为$135^{\circ}$，则总内角和也可表示为$135^{\circ} · n$。
因此列方程：
$135n = 180(n - 2)$，
化简得：
$135n = 180n - 360$，
$45n = 360$，
$n = 8$。
每个内角为$135^{\circ}$，则总内角和也可表示为$135^{\circ} · n$。
因此列方程：
$135n = 180(n - 2)$，
化简得：
$135n = 180n - 360$，
$45n = 360$，
$n = 8$。
例 3 如图，在五边形$ABCDE$中，$AE// BC$，$EF$平分$∠ AED$，$CF$平分$∠ BCD$，若$∠ EDC = 80^{\circ}$，求$∠ EFC$的度数.
【探究点拨】利用五边形的内角和求出$∠ AED+∠ BCD$的度数，最后在四边形$CDEF$中求解$∠ EFC$的度数.
【规范解答】设$∠ AEF=∠ DEF=α$，$∠ BCF=∠ DCF=β$，
$\because AE// BC$，$\therefore∠ A+∠ B = 180^{\circ}$.
$\because$五边形的内角和为$540^{\circ}$，
$\therefore∠ AED+∠ D+∠ BCD = 540^{\circ}-180^{\circ}=360^{\circ}$，
即$2α+80^{\circ}+2β = 360^{\circ}$，$\thereforeα+β = 140^{\circ}$，
$\therefore∠ EFC = 360^{\circ}-∠ D-(α+β)=360^{\circ}-80^{\circ}-140^{\circ}=140^{\circ}$.
【探究点拨】利用五边形的内角和求出$∠ AED+∠ BCD$的度数，最后在四边形$CDEF$中求解$∠ EFC$的度数.
【规范解答】设$∠ AEF=∠ DEF=α$，$∠ BCF=∠ DCF=β$，
$\because AE// BC$，$\therefore∠ A+∠ B = 180^{\circ}$.
$\because$五边形的内角和为$540^{\circ}$，
$\therefore∠ AED+∠ D+∠ BCD = 540^{\circ}-180^{\circ}=360^{\circ}$，
即$2α+80^{\circ}+2β = 360^{\circ}$，$\thereforeα+β = 140^{\circ}$，
$\therefore∠ EFC = 360^{\circ}-∠ D-(α+β)=360^{\circ}-80^{\circ}-140^{\circ}=140^{\circ}$.
答案
设∠AEF=∠DEF=α，∠BCF=∠DCF=β.
∵AE//BC，∴∠A+∠B=180°.
五边形内角和为(5-2)×180°=540°，
∴∠AED+∠D+∠BCD=540°-180°=360°.
∵∠EDC=80°，∠AED=2α，∠BCD=2β，
∴2α+80°+2β=360°，得α+β=140°.
在四边形CDEF中，内角和为(4-2)×180°=360°，
∴∠EFC=360°-∠D-(α+β)=360°-80°-140°=140°.
答：∠EFC的度数为140°.
∵AE//BC，∴∠A+∠B=180°.
五边形内角和为(5-2)×180°=540°，
∴∠AED+∠D+∠BCD=540°-180°=360°.
∵∠EDC=80°，∠AED=2α，∠BCD=2β，
∴2α+80°+2β=360°，得α+β=140°.
在四边形CDEF中，内角和为(4-2)×180°=360°，
∴∠EFC=360°-∠D-(α+β)=360°-80°-140°=140°.
答：∠EFC的度数为140°.
1. 如图，在五边形$ABCDE$中，$∠ A+∠ B+∠ E = 320^{\circ}$，$DP$，$CP$分别平分$∠ EDC$，$∠ BCD$，则$∠ CPD$的度数是.
答案
70°
解析
五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，已知$∠A+∠B+∠E=320^{\circ}$，则$∠BCD+∠EDC=540^{\circ}-320^{\circ}=220^{\circ}$。因为$DP$，$CP$分别平分$∠EDC$，$∠BCD$，所以$∠PCD=\frac{1}{2}∠BCD$，$∠PDC=\frac{1}{2}∠EDC$，故$∠PCD+∠PDC=\frac{1}{2}(∠BCD+∠EDC)=\frac{1}{2}×220^{\circ}=110^{\circ}$。在$△ PCD$中，$∠CPD=180^{\circ}-(∠PCD+∠PDC)=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
2. 某数学小组探究“$n$边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
(1)探究：根据你的研究，补全上表；
(2)猜想：从$n$边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为$(n - 3)(n≥3)$，$n$边形的对角线的总条数为.
(3)应用：10 个人聚会，围坐一桌，每不相邻的两人都握一次手，共握多少次手？
(1)探究：根据你的研究，补全上表；
(2)猜想：从$n$边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为$(n - 3)(n≥3)$，$n$边形的对角线的总条数为.
(3)应用：10 个人聚会，围坐一桌，每不相邻的两人都握一次手，共握多少次手？
答案
(1)
|多边形的边数|4|5|6|7|8|…|
|----|----|----|----|----|----|----|
|从多边形的一个顶点出发可引出的对角线条数|1|2|3|4|5|…|
|多边形对角线的总条数|2|5|9|14|20|…|
(2)$\frac{n(n - 3)}{2}(n≥3)$
(3)将10个人看作10边形的10个顶点，每不相邻的两人握手一次相当于10边形的一条对角线。由(2)知，10边形对角线总条数为$\frac{10×(10 - 3)}{2} = 35$，所以共握手35次。
|多边形的边数|4|5|6|7|8|…|
|----|----|----|----|----|----|----|
|从多边形的一个顶点出发可引出的对角线条数|1|2|3|4|5|…|
|多边形对角线的总条数|2|5|9|14|20|…|
(2)$\frac{n(n - 3)}{2}(n≥3)$
(3)将10个人看作10边形的10个顶点，每不相邻的两人握手一次相当于10边形的一条对角线。由(2)知，10边形对角线总条数为$\frac{10×(10 - 3)}{2} = 35$，所以共握手35次。
