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1. 若一个多边形的内角和是$900^{\circ}$，则这个多边形是()
A.五边形
B.六边形
C.七边形
D.八边形
A.五边形
B.六边形
C.七边形
D.八边形
答案
C
解析
设这个多边形边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，可得方程$(n - 2)×180^{\circ}=900^{\circ}$，解得$n - 2 = 5$，$n = 7$，所以这个多边形是七边形。
2. 若一个正多边形的一个外角是$36^{\circ}$，则这个正多边形的边数是()
A.7
B.8
C.9
D.10
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
D
解析
正多边形的所有外角之和为$360^{\circ}$，且每一个外角都相等。
已知一个外角为$36^{\circ}$，则正多边形的边数 $n$ 可以通过公式 $n = \frac{360^{\circ}}{一个外角的度数}$ 计算得出。
代入已知的外角度数$36^{\circ}$，得：
$n = \frac{360^{\circ}}{36^{\circ}} = 10$
已知一个外角为$36^{\circ}$，则正多边形的边数 $n$ 可以通过公式 $n = \frac{360^{\circ}}{一个外角的度数}$ 计算得出。
代入已知的外角度数$36^{\circ}$，得：
$n = \frac{360^{\circ}}{36^{\circ}} = 10$
3. 将每一个内角都是$108^{\circ}$的五边形按如图所示方式放置，若直线$m// n$，则$∠1$和$∠2$的数量关系是()
A.$∠1+∠2 = 90^{\circ}$
B.$∠1=∠2+72^{\circ}$
C.$∠1=∠2+36^{\circ}$
D.$2∠1+∠2 = 180^{\circ}$
A.$∠1+∠2 = 90^{\circ}$
B.$∠1=∠2+72^{\circ}$
C.$∠1=∠2+36^{\circ}$
D.$2∠1+∠2 = 180^{\circ}$
答案
C
解析
五边形每个内角为108°，则每个外角为180°-108°=72°。过五边形中间顶点作m的平行线（因m//n，该线也平行于n），将∠1和∠2转化为与五边形内角相关的角。由平行线性质及五边形内角和，可得∠1=∠2+36°。
4. 一个正多边形的内角和为$540^{\circ}$，则这个正多边形的每一个外角等于.
答案
72°
解析
设这个正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，解得$n = 5$。因为多边形外角和为$360^{\circ}$，所以每一个外角等于$360^{\circ}÷5 = 72^{\circ}$。
5. 过$n$边形的一个顶点有$2m$条对角线，$m$边形没有对角线，五边形共有$k$条对角线，则$(n - k)^{m}$的值为.
答案
64
解析
∵m边形没有对角线，∴m=3（三角形无对角线）；
∵过n边形一个顶点有2m=6条对角线，∴n-3=6，解得n=9；
∵五边形对角线k=5×(5-3)/2=5；
∴$(n - k)^m=(9-5)^3=4^3=64$。
∵过n边形一个顶点有2m=6条对角线，∴n-3=6，解得n=9；
∵五边形对角线k=5×(5-3)/2=5；
∴$(n - k)^m=(9-5)^3=4^3=64$。
6. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则$∠ ABC=$.
答案
120°
解析
六边形内角和为(6-2)×180°=720°。六个全等直角三角形内角和为6×180°=1080°，中心处周角360°，故六边形内角和=1080°-360°=720°。中心处6个锐角和为360°，每个锐角=360°÷6=60°，则直角三角形另一锐角=90°-60°=30°。六边形每个内角由直角(90°)和30°锐角组成，即90°+30°=120°，故∠ABC=120°。
7. 如图，小明从点$A$出发沿直线前进$10m$到达点$B$，向左转$45^{\circ}$后又沿直线前进$10m$到达点$C$，再向左转$45^{\circ}$后沿直线前进$10m$到达点$D$，照这样走下去，小明第一次回到出发点$A$时所走的路程为m.
答案
80
解析
小明每次向左转$45°$，所走路径构成一个多边形。
多边形的外角为$45°$，
所以，边数$n = \frac{360°}{45°} = 8$，即这是一个正八边形。
小明每走一次的步长是$10$米，
所以，总路程为：$8 × 10 = 80$（米）。
多边形的外角为$45°$，
所以，边数$n = \frac{360°}{45°} = 8$，即这是一个正八边形。
小明每走一次的步长是$10$米，
所以，总路程为：$8 × 10 = 80$（米）。
8. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是$1440^{\circ}$，则原来多边形的边数是.
答案
9或10或11
解析
设新多边形的边数为n，由内角和公式得$(n-2)×180°=1440°$，解得$n=10$。多边形截去一个角后，边数可能增加1、不变或减少1，故原多边形边数为$10-1=9$，$10$或$10+1=11$。
9. 求如图所示的图形中$x$的值.
答案
(1) 该图形为四边形，内角和为$(4-2)×180^{\circ}=360^{\circ}$。
$90^{\circ}+150^{\circ}+70^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$
$310^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$
$x=50$
(2) 该图形为四边形，内角和为$360^{\circ}$。
$90^{\circ}+73^{\circ}+82^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$
$245^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$
$x=115$
(3) 该图形为五边形，内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$。
$60^{\circ}+(x+30)^{\circ}+x^{\circ}+(x-10)^{\circ}+x^{\circ}=540^{\circ}$
$60+ x+30 +x +x-10 +x=540$
$4x+80=540$
$4x=460$
$x=115$
$90^{\circ}+150^{\circ}+70^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$
$310^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$
$x=50$
(2) 该图形为四边形，内角和为$360^{\circ}$。
$90^{\circ}+73^{\circ}+82^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$
$245^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$
$x=115$
(3) 该图形为五边形，内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$。
$60^{\circ}+(x+30)^{\circ}+x^{\circ}+(x-10)^{\circ}+x^{\circ}=540^{\circ}$
$60+ x+30 +x +x-10 +x=540$
$4x+80=540$
$4x=460$
$x=115$
