问题 如图，在$△ ABC$中，$AB = 5$，$AC = \sqrt{13}$，$BC = 6$. 求$△ ABC$的面积.
名师指导
由三角形的面积等于边与这边上高的积的一半知，欲求斜三角形的面积，必须获知一边和这边上的高. 于是，考虑作一条边的高，不妨作$BC$边上的高. 此时，$△ ABC$被分成两个直角三角形，可以在两个直角三角形中运用勾股定理.
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：

作$AD ⊥ BC$交$BC$于点$D$，设$BD = x$，则$CD = 6 - x$。
在$Rt \bigtriangleup ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=5^{2}-x^{2}=25 - x^{2}$。
在$Rt \bigtriangleup ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=(\sqrt{13})^{2}-(6 - x)^{2}=13-(36 - 12x + x^{2})=12x - x^{2}-23$。
所以$25 - x^{2}=12x - x^{2}-23$，
$12x=48$，
解得$x = 4$。
把$x = 4$代入$AD^{2}=25 - x^{2}$，可得$AD^{2}=25 - 16 = 9$，则$AD = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×3 = 9$。
综上，$ \bigtriangleup ABC$的面积是$9$。

1. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C = 1:1:2$，则下列说法错误的是()

A.$∠ C = 90^{\circ}$
B.$a^{2}=b^{2}-c^{2}$
C.$c^{2}=2a^{2}$
D.$a = b$

1. B.

2. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CH⊥ AB$于点$H$. 若$BC = 5$，$AC = 12$，则$AB =$，$CH =$.

2. $13$；$\frac{60}{13}$.

3. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若$AB = 16cm$，则阴影部分的面积是$cm^{2}$.

3. 32.

4. 如图，火箭从地面$A$处发射，当火箭到达$B$点时，从地面$D$处的雷达站测得$BD$的距离是$4km$，$∠ ADB = 30^{\circ}$；当火箭到达$C$点时，测得$∠ ADC = 45^{\circ}$，求火箭从$B$点上升到$C$点的高度$BC$.（结果保留根号）

4. 火箭从$B$点上升到$C$点的高度$BC$为$(2\sqrt{3}-2)km$.